Задание №18 Т/Р №202 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|x-2|+|x|-ax=2(a-1)$

имеет ровно один корень.

Решение:

$|x-2|+|x|-ax=2(a-1);$

$|x-2|+|x|=a(x+2)-2.$

Рассмотрим $f(x)=|x-2|+|x|.$

При $x<0$  $f(x)=-2x+2;$

при $0\leq x\leq 2$  $f(x)=2;$

при $x>2$  $f(x)=2x-2.$

Рассмотрим $g(x)=a(x+2)-2.$

$g(x)$ – семейство прямых, проходящих через точку $(-2;-2).$

Становится видно, что в случае расположения $g(x)$ в зоне, помеченной на рисунке синим цветом,  графики $f(x),g(x)$ пересекаются только один раз, а значит исходное уравнение имеет единственный корень.

Несложно найти $a$, отвечающие за прохождение $g(x)=a(x+2)-2$ через точки $(2;2), (0;2).$ В первом случае $a=1,$ во втором – $a=2.$

Также третье ключевое значение $a$ – это $-2.$

Итак, $a\in (-\infty;-2)\cup ${$1$}$\cup [2;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;-2)\cup ${$1$}$\cup [2;+\infty).$