Задание №18 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$lg(x^2(x-2a)+x(2+a)+1-a^2)=lg(x^2-a^2x+2x-a^2+1)$

имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:

$\begin{cases}x^2(x-2a)+x(2+a)+1-a^2=x^2-a^2x+2x-a^2+1,\\x^2-a^2x+2x-a^2+1>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x^3-2ax^2+2x+xa+1-a^2-x^2+a^2x-2x+a^2-1=0,\\(x+1)^2-a^2(x+1)>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x((x^2-2ax+a^2)-(x-a))=0,\\(x+1)(x+1-a^2)>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(x-a)(x-a-1)=0,\\(x+1)(x+1-a^2)>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\x=a,\\x=a+1;\end{array}\right.\\(x+1)(x+1-a^2)>0;&\end{cases}$

$a\in (-\infty;-2)\cup (-1;\frac{1-\sqrt5}{2}]\cup\{0\}\cup[1;\frac{1+\sqrt5}{2})$.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-1;\frac{1-\sqrt5}{2}]\cup\{0\}\cup[1;\frac{1+\sqrt5}{2})$.