Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19 Т/Р №194 А. Ларина

27 Апр 2017

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №194 А. Ларина

Елена Репина 2017-04-27 2017-04-27

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

19. Пусть $S_n$ – сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии { $a_n$ }.

Известно,что $S_{n+1}=2n^2 -21n-23$ .
а) Укажите формулу $n$ ‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$ .
в) Найдите наименьшее $n$ , при котором $S_n$ будет квадратом целого числа.

Решение:

a)

$a_1=S_1=S_{0+1}=-23;$

$a_1+a_2=S_2=S_{1+1}=-42$ , откуда $a_2=-19.$

Тогда разность прогрессии $d=-19-(-23)=4$ .

Наконец,

$a_n=a_1+(n-1)d;$

$a_n=-23+(n-1)\cdot 4;$

$a_n=4n-27.$

б)

$S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-23+4n-27}{2}\cdot n=n(2n-25).$

График функции $y=|2x^2-25x|$ для $x\in R$ схематически выглядит так:

897нгр

Нули функции – в точках $x=0,x=12,5.$

В нашем же случае значения $n$ натуральны. Нам необходимо для поиска наименьшего значения $|S_{n}|$ сравнить значения $|S_n|$ при $n=1,n=12,n=13.$

$|S_{1}|=23,$ $|S_{12}|=12,$ $|S_{13}|=13.$

Итак, наименьшая по модулю сумма $S_n$ равна $12.$

в) Заметим, наименьшее $n$ , при котором $S_n$ будет квадратом целого числа, следует искать при $n\geq 13.$

Пусть $2n^2-25n=m^2,$ $m\in Z.$

Тогда

$m^2-n^2=n^2-25n;$

$(m-n)(m+n)=n(n-25);$

Левая часть должна делиться на $n,$ тогда $m=nk,$ $k\in Z.$

$n^2(k-1)(k+1)=n(n-25);$

$n(k-1)(k+1)=n-25;$

$n(k^2-1-1)=-25;$

$n(2-k^2)=25.$

Мы замечали выше, что следует брать $n\geq 13.$

Тогда $n=25,k=\pm 1.$ Откуда $m=\pm n.$

Итак, наименьшее $n$ , при котором $S_n$ будет квадратом целого числа – это $25.$

Ответ: a) $4n-27;$ б) $12;$ в) $25.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы