Задание №19 Т/Р №194 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

19. Пусть $S_n$ – сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии {$a_n$}.

Известно,что $S_{n+1}=2n^2 –21n–23$.
а) Укажите формулу $n$‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
в) Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа.

Решение:

a)

$a_1=S_1=S_{0+1}=-23;$

$a_1+a_2=S_2=S_{1+1}=-42$, откуда $a_2=-19.$

Тогда  разность прогрессии $d=-19-(-23)=4$.

 Наконец,

$a_n=a_1+(n-1)d;$

$a_n=-23+(n-1)\cdot 4;$

$a_n=4n-27.$

б)

$S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-23+4n-27}{2}\cdot n=n(2n-25).$

 График функции $y=|2x^2-25x|$ для $x\in R$ схематически выглядит так:

Нули функции – в точках $x=0,x=12,5.$

В нашем же случае значения $n$ натуральны. Нам необходимо для поиска наименьшего значения $|S_{n}|$ сравнить значения $|S_n|$ при $n=1,n=12,n=13.$

$|S_{1}|=23,$  $|S_{12}|=12,$  $|S_{13}|=13.$

Итак, наименьшая  по модулю сумма $S_n$  равна $12.$

в) Заметим, наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа, следует искать при $n\geq 13.$

Пусть $2n^2-25n=m^2,$ $m\in Z.$

Тогда

$m^2-n^2=n^2-25n;$

$(m-n)(m+n)=n(n-25);$

Левая часть должна делиться на $n,$ тогда $m=nk,$ $k\in Z.$

$n^2(k-1)(k+1)=n(n-25);$

$n(k-1)(k+1)=n-25;$

$n(k^2-1-1)=-25;$

$n(2-k^2)=25.$

Мы замечали выше, что следует брать $n\geq 13.$

Тогда $n=25,k=\pm 1.$ Откуда $m=\pm n.$

Итак, наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа – это $25.$

Ответ: a) $4n-27;$ б) $12;$ в) $25.$