Задание №19 Т/Р №194 А. Ларина

2017-04-27

Смотрите также №13№14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №194 А. Ларина.

19. Пусть S_n – сумма n первых членов арифметической прогрессии {a_n}.

Известно,что S_{n+1}=2n^2 -21n-23.
а) Укажите формулу n‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S_n.
в) Найдите наименьшее n, при котором S_n будет квадратом целого числа.

Решение:

a)

a_1=S_1=S_{0+1}=-23;

a_1+a_2=S_2=S_{1+1}=-42, откуда a_2=-19.

Тогда  разность прогрессии d=-19-(-23)=4.

 Наконец,

a_n=a_1+(n-1)d;

a_n=-23+(n-1)\cdot 4;

a_n=4n-27.

б)

S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-23+4n-27}{2}\cdot n=n(2n-25).

 График функции y=|2x^2-25x| для x\in R схематически выглядит так:

Нули функции – в точках x=0,x=12,5.

В нашем же случае значения n натуральны. Нам необходимо для поиска наименьшего значения |S_{n}| сравнить значения |S_n| при n=1,n=12,n=13.

|S_{1}|=23,  |S_{12}|=12,  |S_{13}|=13.

Итак, наименьшая  по модулю сумма S_n  равна 12.

в) Заметим, наименьшее n, при котором S_n будет квадратом целого числа, следует искать при n\geq 13.

Пусть 2n^2-25n=m^2, m\in Z.

Тогда

m^2-n^2=n^2-25n;

(m-n)(m+n)=n(n-25);

Левая часть должна делиться на n, тогда m=nk, k\in Z.

n^2(k-1)(k+1)=n(n-25);

n(k-1)(k+1)=n-25;

n(k^2-1-1)=-25;

n(2-k^2)=25.

Мы замечали выше, что следует брать n\geq 13.

Тогда n=25,k=\pm 1. Откуда m=\pm n.

Итак, наименьшее n, при котором S_n будет квадратом целого числа – это 25.

Ответ: a) 4n-27; б) 12; в) 25.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семь + 1 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif