Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$4^{a^2}\cdot log_2(|x^2-6x+8|+2)+2^{3a-|x^2-6x+8|}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0$

имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:

Пусть $|x^2-6x+8|=m.$

$4^{a^2}\cdot log_2(m+2)+2^{3a-m}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0;$

 $2^{2a^2}\cdot log_2(m+2)=2^{3a-m}\cdot log_2(2+3a-2a^2);$

$2^mlog_2(m+2)=2^{3a-2a^2}log_2(3a-2a^2+2);$

Заметим, в левой части равенства – произведение двух возрастающих функций, при этом $2^m>0,$ $log_2(m+2)>log_21=0$. Значит, слева – возрастающая функция (воспользовались свойством: Произведение строго возрастающих неотрицательных функций есть функция строго возрастающая). Аналогично справа – возрастающая функция.

Итак, имеем уравнение $f(m)=f(3a-2a^2)$, где  $f(t)=2^t\cdot log_2(t+2)$ ($f(t)$ – непрерывна, монотонна на обл. определения).

Тогда (согласно свойству: Уравнение $f(u)=f(v)$  равносильно уравнению $u=v$ на $M$, где $f(t)$ определена на  $M$, непрерывна и строго монотонная на $M$)

$f(m)=f(3a-2a^2)$ равносильно $m=3a-2a^2$ при $a\in (-\frac{1}{2};2).$

$\begin{cases}|x^2-6x+8|=3a-2a^2,\\-\frac{1}{2}<a<2;&\end{cases}$

k

  Необходимо:

$3a-2a^2>1$ или $3a-2a^2=0$ при условии $-\frac{1}{2}<a<2$.

То есть

$a\in(\frac{1}{2};1)\cup ${$0;1,5$}.

Ответ: $(\frac{1}{2};1)\cup ${$0;1,5$}.

Печать страницы
комментариев 9
  1. Дима

    Откуда берется условие, что -1/2<А<2?

    [ Ответить ]
    • Дима

      Я уже понял)

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Иначе не будет существовать [latexpage] $log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})$.
      То есть необходимо решить неравенство $2+3a-2a^2>0.$

      [ Ответить ]
      • Дима

        Да, спасибо:)

        [ Ответить ]
  2. egeMax

    ;)

    [ Ответить ]
  3. Арсентий

    3 строчка в преобразовании видимо должно быть 3а^2-2a^2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Арсений, спасибо большое.

      [ Ответить ]
  4. Ти

    Почему вы 2a^2 поменяли на m???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нет, не меняла! Просто перед этим обе части равенства были домножены на 2 в степени (m-2a^2)!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




1 × четыре =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif