Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

12 Фев 2015

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

Елена Репина 2015-02-12 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$4^{a^2}\cdot log_2(|x^2-6x+8|+2)+2^{3a-|x^2-6x+8|}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0$

имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:

Пусть $|x^2-6x+8|=m.$

$4^{a^2}\cdot log_2(m+2)+2^{3a-m}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0;$

$2^{2a^2}\cdot log_2(m+2)=2^{3a-m}\cdot log_2(2+3a-2a^2);$

$2^mlog_2(m+2)=2^{3a-2a^2}log_2(3a-2a^2+2);$

Заметим, в левой части равенства – произведение двух возрастающих функций, при этом $2^m>0,$ $log_2(m+2)>log_21=0$ . Значит, слева – возрастающая функция (воспользовались свойством: Произведение строго возрастающих неотрицательных функций есть функция строго возрастающая). Аналогично справа – возрастающая функция.

Итак, имеем уравнение $f(m)=f(3a-2a^2)$ , где $f(t)=2^t\cdot log_2(t+2)$ ( $f(t)$ – непрерывна, монотонна на обл. определения).

Тогда (согласно свойству: Уравнение $f(u)=f(v)$ равносильно уравнению $u=v$ на $M$ , где $f(t)$ определена на $M$ , непрерывна и строго монотонная на $M$ )

$f(m)=f(3a-2a^2)$ равносильно $m=3a-2a^2$ при $a\in (-\frac{1}{2};2).$

$\begin{cases} |x^2-6x+8|=3a-2a^2,& &-\frac{1}{2}<a<2; \end{cases}$

Необходимо:

$3a-2a^2>1$ или $3a-2a^2=0$ при условии $-\frac{1}{2}<a<2$ .

То есть

$a\in(\frac{1}{2};1)\cup$ { $0;1,5$ }.

Ответ: $(\frac{1}{2};1)\cup$ { $0;1,5$ }.

Автор: egeMax | комментариев 9

Печать страницы

комментариев 9

Дима

2015-03-15 в 16:31

Откуда берется условие, что -1/2<А<2?

[ Ответить ]
- Дима
  
  2015-03-15 в 16:35
  
  Я уже понял)
  
  [ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-15 в 16:36
  
  Иначе не будет существовать $log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})$ .
  То есть необходимо решить неравенство $2+3a-2a^2>0.$
  
  [ Ответить ]
  - Дима
    
    2015-03-15 в 18:58
    
    Да, спасибо:)
    
    [ Ответить ]
egeMax

2015-03-15 в 16:38

;)

[ Ответить ]
Арсентий

2015-05-31 в 13:13

3 строчка в преобразовании видимо должно быть 3а^2-2a^2

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-31 в 14:33
  
  Арсений, спасибо большое.
  
  [ Ответить ]
Ти

2016-06-05 в 14:34

Почему вы 2a^2 поменяли на m???

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-06-05 в 17:02
  
  Нет, не меняла! Просто перед этим обе части равенства были домножены на 2 в степени (m-2a^2)!
  
  [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ