Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

4^{a^2}\cdot log_2(|x^2-6x+8|+2)+2^{3a-|x^2-6x+8|}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0

имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:

Пусть |x^2-6x+8|=m.

4^{a^2}\cdot log_2(m+2)+2^{3a-m}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0;

 2^{2a^2}\cdot log_2(m+2)=2^{3a-m}\cdot log_2(2+3a-2a^2);

2^mlog_2(m+2)=2^{3a-2a^2}log_2(3a-2a^2+2);

Заметим, в левой части равенства – произведение двух возрастающих функций, при этом 2^m>0, log_2(m+2)>log_21=0. Значит, слева – возрастающая функция (воспользовались свойством: Произведение строго возрастающих неотрицательных функций есть функция строго возрастающая). Аналогично справа – возрастающая функция.

Итак, имеем уравнение f(m)=f(3a-2a^2), где  f(t)=2^t\cdot log_2(t+2) (f(t) – непрерывна, монотонна на обл. определения).

Тогда (согласно свойству: Уравнение f(u)=f(v)  равносильно уравнению u=v на M, где f(t) определена на  M, непрерывна и строго монотонная на M)

f(m)=f(3a-2a^2) равносильно m=3a-2a^2 при a\in (-\frac{1}{2};2).

  \begin{cases} |x^2-6x+8|=3a-2a^2,& &-\frac{1}{2}<a<2; \end{cases}

  Необходимо:

3a-2a^2>1 или 3a-2a^2=0 при условии -\frac{1}{2}<a<2.

То есть

a\in(\frac{1}{2};1)\cup{0;1,5}.

Ответ: (\frac{1}{2};1)\cup{0;1,5}.

Печать страницы
Комментариев: 9
  1. Дима

    Откуда берется условие, что -1/2<А<2?

    [ Ответить ]
    • Дима

      Я уже понял)

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Иначе не будет существовать log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2}).
      То есть необходимо решить неравенство 2+3a-2a^2>0.

      [ Ответить ]
      • Дима

        Да, спасибо:)

        [ Ответить ]
  2. egeMax

    ;)

    [ Ответить ]
  3. Арсентий

    3 строчка в преобразовании видимо должно быть 3а^2-2a^2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Арсений, спасибо большое.

      [ Ответить ]
  4. Ти

    Почему вы 2a^2 поменяли на m???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нет, не меняла! Просто перед этим обе части равенства были домножены на 2 в степени (m-2a^2)!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif