Задание №16 Т/Р №104 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом .

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.

Решение:

а) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Действительно, это следует из равенства прямоугольных треугольников  (по катету и острому углу) с общим катетом ( – проекция вершины пирамиды) и гипотенузами – ребрами пирамиды.

Все точки прямой равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку на прямой , что, например, .

Итак, – центр описанной сферы около пирамиды .

б) Трапеция – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность.

Пусть – высоты трапеции.

 , то есть ;

Далее,

Окружность, описанная около трапеции – окружность, описанная около треугольника

Радиус окружности, описанной около есть (по т. Синусов).

Из треугольника

Наконец,

Ответ: