Задание №16 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60^{\circ}.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.

Решение:

а) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Действительно, это следует из равенства прямоугольных треугольников  (по катету и острому углу) с общим катетом SH (H – проекция вершины пирамиды) и гипотенузами – ребрами пирамиды.

Все точки прямой SH равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку M на прямой SH, что, например, SM=MA.

Итак, M – центр описанной сферы около пирамиды SABCD.

б) Трапеция ABCD – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность.

Пусть BY, CZ – высоты трапеции.

\Delta ABY:  cosA=\frac{AY}{AB}, то есть 0,6=\frac{9}{AB}; AB=15.

BY=\sqrt{AB^2-AY^2}=12.

\Delta BDY:   BD=\sqrt{BY^2+YD^2}=20.

Далее, S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}BY=192.

Окружность, описанная около трапеции ABCD – окружность, описанная около треугольника ABD.

Радиус R окружности, описанной около \Delta ABD есть \frac{BD}{2sinA} (по т. Синусов).

R=AH=\frac{20}{2\cdot 0,8}=\frac{25}{2}.

Из треугольника ASH:

tg\angle SAH=\frac{SH}{AH};

tg60^{\circ}=\frac{SH}{\frac{25}{2}};

SH=\frac{25\sqrt3}{2}.

Наконец,

V_{ABCDS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{192\cdot \frac{25\sqrt3}{2}}{3}=800\sqrt3.

Ответ: 800\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif