В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом .
а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.
Решение:
а) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Действительно, это следует из равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу) с общим катетом (
– проекция вершины пирамиды) и гипотенузами – ребрами пирамиды.
Все точки прямой равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку
на прямой
, что, например,
.
Итак, – центр описанной сферы около пирамиды
.
б) Трапеция – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность.
Пусть
– высоты трапеции.
, то есть
;
Далее,
Окружность, описанная около трапеции – окружность, описанная около треугольника
Радиус окружности, описанной около
есть
(по т. Синусов).
Из треугольника
Наконец,
Ответ:
Добавить комментарий