Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом $60^{\circ}$.
а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.
Решение:
а) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Действительно, это следует из равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу) с общим катетом $SH$ ($H$ – проекция вершины пирамиды) и гипотенузами – ребрами пирамиды.
Все точки прямой $SH$ равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку $M$ на прямой $SH$, что, например, $SM=MA$.
Итак, $M$ – центр описанной сферы около пирамиды $SABCD$.
б) Трапеция $ABCD$ – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность.
Пусть $BY,$ $CZ$ – высоты трапеции.
$\Delta ABY:$ $cosA=\frac{AY}{AB}$, то есть $0,6=\frac{9}{AB}$; $AB=15.$
$BY=\sqrt{AB^2-AY^2}=12.$
$\Delta BDY:$ $BD=\sqrt{BY^2+YD^2}=20.$
Далее, $S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}BY=192.$
Окружность, описанная около трапеции $ABCD$ – окружность, описанная около треугольника $ABD.$
Радиус $R$ окружности, описанной около $\Delta ABD$ есть $\frac{BD}{2sinA}$ (по т. Синусов).
$R=AH=\frac{20}{2\cdot 0,8}=\frac{25}{2}.$
Из треугольника $ASH:$
$tg\angle SAH=\frac{SH}{AH};$
$tg60^{\circ}=\frac{SH}{\frac{25}{2}};$
$SH=\frac{25\sqrt3}{2}.$
Наконец,
$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{192\cdot \frac{25\sqrt3}{2}}{3}=800\sqrt3.$
Ответ: $800\sqrt3.$
Добавить комментарий