В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
– точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника
. Периметры треугольников
,
,
и
равны между собой.
а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если радиусы окружностей, вписанных в треугольники
,
и
равны соответственно 3, 4 и 6.
Решение:
a) Так как , то
Так как , то
Вычитая из первого равенства второе, получаем:
или
Итак, суммы длин противоположных сторон равны, а значит в четырехугольник можно вписать окружность.
Что и требовалось доказать.
Вообще говоря, надо сказать, что условие задачи составлено некорректно. Опираясь на равенство периметров указанных в условии треугольников, несложно прийти к тому, что – ромб. Это противоречит тому, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники
,
и
равны соответственно 3, 4 и 6, ибо они должны быть равными.
Что ж, ведем рассуждения как если бы мы ничего не заметили…
б) Пусть – искомый радиус. Обозначим через
равные полупериметры:
Имеем:
При этом замечаем, что
.
Действительно, + показать
Откуда
Ответ: 4,5.
Добавить комментарий