Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6.

Решение:

a) Так как P_{ABO}=P_{BCO}, то  AB+AO=BC+OC.

    Так как P_{DAO}=P_{CDO}, то  AD+AO=CO+CD.

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

AB-AD=BC-CD

или

AB+CD=BC+AD.

Итак, суммы длин противоположных сторон равны, а значит в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Что и требовалось доказать.

Вообще говоря, надо сказать, что условие задачи составлено некорректно. Опираясь на равенство периметров указанных в условии треугольников, несложно прийти к тому, что ABCD – ромб. Это противоречит тому, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6, ибо они должны быть равными.

Что ж, ведем рассуждения как если бы мы ничего не заметили…

б) Пусть r – искомый радиус. Обозначим через p равные полупериметры: p=p_{ABO}=p_{BCO}=p_{CDO}=p_{ADO} Имеем:

S_{ABO}=3p,

S_{BCO}=4p,

S_{CDO}=6p,

S_{ADO}=rp.

При этом замечаем, что

S_{ADO}\cdot S_{BCO}=S_{ABO}\cdot S_{CDO}.

Действительно, + показать

Откуда

rp\cdot 4p=3p\cdot 6p;

r=\frac{18}{4};

r=4,5.

Ответ: 4,5.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif