Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина

Елена Репина 2015-03-05 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
$O$ – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$ . Периметры треугольников $AOB$ , $BOC$ , $COD$ и $DOA$ равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $DOA$ , если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$ , $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6.

Решение:

a) Так как $P_{ABO}=P_{BCO}$ , то $AB+AO=BC+OC.$

Так как $P_{DAO}=P_{CDO}$ , то $AD+AO=CO+CD.$

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

$AB-AD=BC-CD$

или

$AB+CD=BC+AD.$

Итак, суммы длин противоположных сторон равны, а значит в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Что и требовалось доказать.

Вообще говоря, надо сказать, что условие задачи составлено некорректно. Опираясь на равенство периметров указанных в условии треугольников, несложно прийти к тому, что $ABCD$ – ромб. Это противоречит тому, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$ , $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6, ибо они должны быть равными.

Что ж, ведем рассуждения как если бы мы ничего не заметили…

б) Пусть $r$ – искомый радиус. Обозначим через $p$ равные полупериметры: $p=p_{ABO}=p_{BCO}=p_{CDO}=p_{ADO}$ Имеем: