Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
$O$ – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Периметры треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $DOA$, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6.

Решение:

a) Так как $P_{ABO}=P_{BCO}$, то  $AB+AO=BC+OC.$

    Так как $P_{DAO}=P_{CDO}$, то  $AD+AO=CO+CD.$

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

$AB-AD=BC-CD$

или

$AB+CD=BC+AD.$

Итак, суммы длин противоположных сторон равны, а значит в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Что и требовалось доказать.

Вообще говоря, надо сказать, что условие задачи составлено некорректно. Опираясь на равенство периметров указанных в условии треугольников, несложно прийти к тому, что $ABCD$ – ромб. Это противоречит тому, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6, ибо они должны быть равными.

Что ж, ведем рассуждения как если бы мы ничего не заметили…

б) Пусть $r$ – искомый радиус. Обозначим через $p$ равные полупериметры: $p=p_{ABO}=p_{BCO}=p_{CDO}=p_{ADO}$ Имеем:

$S_{ABO}=3p,$

$S_{BCO}=4p,$

$S_{CDO}=6p,$

$S_{ADO}=rp.$

При этом замечаем, что

$S_{ADO}\cdot S_{BCO}=S_{ABO}\cdot S_{CDO}$.

Действительно, + показать

Откуда

$rp\cdot 4p=3p\cdot 6p;$

$r=\frac{18}{4};$

$r=4,5.$

Ответ: 4,5.