Задание №20 Т/Р №107 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого $x$ из промежутка $[3;9)$ значение выражения $log^2_3x-6$ не равно значению выражения $(a-4)log_3x.$

Решение:

Найдем, все значения $a$, при каждом из которых уравнение  $log^2_3x-6=(a-4)log_3x$ не имеет решений на $[3;9)$.

Рассмотрим функцию $f(t)=t^2-(a-4)t-6,$  где $t=log_3x.$

Заметим, $x\in [3;9)$ – значит $t\in [1;2).$

Замечаем также, что $f(t)=0$ имеет два различных корня (дискриминант уравнения всегда положителен).

При этом, так как свободный член квадратного трехчлена $t^2-(a-4)t-6$ отрицателен, то один из корней отрицателен.

Тогда нам остается потребовать, чтобы больший корень уравнения $f(t)=0$  был бы меньше 1 или не меньше 2, что в свою очередь означает, что $f(1)>0$ или $f(2)\leq 0.$

$\left[\begin{array}{rcl}f(1)>0,\\f(2)\leq 0;\end{array}\right.\\$
$\left[\begin{array}{rcl}-a-1>0,\\6-2a\leq 0;\end{array}\right.\\$

$\left[\begin{array}{rcl}a< -1,\\a\geq 3;\end{array}\right.\\$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup [3;+\infty).$