Задание №20 Т/Р №107 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого $x$ из промежутка $[3;9)$ значение выражения $log^2_3x-6$ не равно значению выражения $(a-4)log_3x.$

Решение:

Найдем, все значения $a$, при каждом из которых уравнение  $log^2_3x-6=(a-4)log_3x$ не имеет решений на $[3;9)$.

Рассмотрим функцию $f(t)=t^2-(a-4)t-6,$  где $t=log_3x.$

Заметим, $x\in [3;9)$ – значит $t\in [1;2).$

Замечаем также, что $f(t)=0$ имеет два различных корня (дискриминант уравнения всегда положителен).

При этом, так как свободный член квадратного трехчлена $t^2-(a-4)t-6$ отрицателен, то один из корней отрицателен.

Тогда нам остается потребовать, чтобы больший корень уравнения $f(t)=0$  был бы меньше 1 или не меньше 2, что в свою очередь означает, что $f(1)>0$ или $f(2)\leq 0.$

mn

$\left[\begin{array}{rcl}f(1)>0,\\f(2)\leq 0;\end{array}\right.\\$
$\left[\begin{array}{rcl}-a-1>0,\\6-2a\leq 0;\end{array}\right.\\$

$\left[\begin{array}{rcl}a< -1,\\a\geq 3;\end{array}\right.\\$

Ответ: $(-\infty;-1)\cup [3;+\infty).$

Печать страницы
комментариев 8
  1. Кристина

    Елена Юрьевна, здравствуйте! Не могу разобраться с решением.., почему …..Тогда нам остается потребовать, чтобы больший корень уравнения f(t)=0 был бы меньше 1 или не меньше 2, что в свою очередь означает, что f(1)>0 или f(2)\leq 0.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, о меньшем корне нам не следует вообще беспокоиться, ибо он отрицательный, то есть и без того не входит в [1;2).
      А вот чтобы второй корень не вошел в [1;2), мы и требуем f(1)>0, f(2)>=0. Посмотрите на картинку. Хорошо видно, что указанные требования будут гарантировать корень не из [1;2). Если все равно непонятно, уточняйте.

      [ Ответить ]
  2. Кристина

    Елена Юрьевна, разобралась, спасибо!

    [ Ответить ]
  3. Кристина

    Наталья Юрьевна, спасибо за помощь! Всего Вам самого доброго!!!)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена ;)

      [ Ответить ]
  4. Кристина

    Елена Юрьевна!)))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, удачи! :)

      [ Ответить ]
  5. Кристина

    Спасибо!)

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




восемь + 9 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif