Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 Т/Р №99 А. Ларина

08 Янв 2015

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 Т/Р №99 А. Ларина

Елена Репина 2015-01-08 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

При каком наибольшем значении параметра $a$ система уравнений имеет единственное решение

$\begin{cases} (x+a\sqrt3)^2+y^2+6y+8=0,& &\sqrt3|x|+y=6;& \end{cases}$

Решение:

Имеем:

$\begin{cases} (x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1,& &\sqrt3|x|+y=6;& \end{cases}$

График $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ – семейство окружностей единичного радиуса с центром в точке $(-a\sqrt3;-3).$

График $y=-\sqrt3|x|+6$ – два луча («смотрят» вниз) с началом в точке $(0;6)$ , наклоненные к оси $ox$ под углами, тангенс которых равен $\pm \sqrt3.$

iujh

Единственное решение – при тех значениях $a$ , при которых окружность $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ касается прямой $y=-\sqrt3x+6$ или $y=\sqrt3x+6$ (4 случая).

Наибольшее же значение $a$ – в случае касания окружности $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ и прямой $y=\sqrt3x+6$ слева.

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x+a\sqrt3)^2+(\sqrt3x+6+3)^2=1$ .

Имеем

$x^2+2\sqrt3ax+3a^2+3x^2+18\sqrt3x+81-1=0;$

$4x^2+2(\sqrt3a+9\sqrt3)x+3a^2+80=0;$

$\frac{D}{4}=(\sqrt3a+9\sqrt3)^2-4(3a^2+80);$

$\frac{D}{4}=-9a^2+54a-77;$

$D=0$ <=> $9a^2-54a+77=0;$

Тогда

$a=\frac{27\pm \sqrt{27^2-693}}{9};$

$a=\frac{11}{3}$ или $a=\frac{7}{3}.$

Наше значение $a$ – это $\frac{11}{3}$ .

Ответ: $\frac{11}{3}.$

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Елена

2015-01-09 в 04:17

Спасибо, Елена.
Люблю графический метод.

[ Ответить ]
василий

2015-01-09 в 21:43

Лена, здравствуйте! Огромное спасибо за Ваши разработки!
Желаю всего самого наилучшего и поздравляю с наступившим Новым Годом!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-01-10 в 00:34
  
  Василий, спасибо! И Вам – всех благ! ;)
  
  [ Ответить ]
  - Daniil Ischez
    
    2016-02-24 в 22:12
    
    алгоритм ясен, спасибо. но почему мы требуем, что-бы дискриминант был равен нулю? поясните, пожалуйста)
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-02-24 в 22:19
      
      D=0 –> один корень –> касание
      
      [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы