Задание №20 Т/Р №99 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15 №16№17№18№19.

При каком наибольшем значении параметра $a$ система уравнений имеет единственное решение

$\begin{cases}(x+a\sqrt3)^2+y^2+6y+8=0,\\\sqrt3|x|+y=6;&\end{cases}$

Решение:

Имеем:

$\begin{cases}(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1,\\\sqrt3|x|+y=6;&\end{cases}$

График $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ – семейство окружностей единичного радиуса с центром в точке $(-a\sqrt3;-3).$

График $y=-\sqrt3|x|+6$ –  два луча  («смотрят» вниз) с началом в точке $(0;6)$, наклоненные к оси $ox$ под углами, тангенс которых равен $\pm \sqrt3.$

iujh

Единственное решение – при тех значениях $a$, при которых окружность $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ касается прямой $y=-\sqrt3x+6$ или $y=\sqrt3x+6$  (4 случая).

Наибольшее же значение $a$  – в случае касания окружности $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ и прямой $y=\sqrt3x+6$  слева.

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x+a\sqrt3)^2+(\sqrt3x+6+3)^2=1$.

Имеем

$x^2+2\sqrt3ax+3a^2+3x^2+18\sqrt3x+81-1=0;$

$4x^2+2(\sqrt3a+9\sqrt3)x+3a^2+80=0;$

$\frac{D}{4}=(\sqrt3a+9\sqrt3)^2-4(3a^2+80);$

$\frac{D}{4}=-9a^2+54a-77;$

$D=0$ <=> $9a^2-54a+77=0;$

Тогда

$a=\frac{27\pm \sqrt{27^2-693}}{9};$

$a=\frac{11}{3}$ или $a=\frac{7}{3}.$

Наше значение $a$ – это  $\frac{11}{3}$.

Ответ: $\frac{11}{3}.$

Печать страницы
комментариев 5
  1. Елена

    Спасибо, Елена.
    Люблю графический метод.

    [ Ответить ]
  2. василий

    Лена, здравствуйте! Огромное спасибо за Ваши разработки!
    Желаю всего самого наилучшего и поздравляю с наступившим Новым Годом!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Василий, спасибо! И Вам – всех благ! ;)

      [ Ответить ]
      • Daniil Ischez

        алгоритм ясен, спасибо. но почему мы требуем, что-бы дискриминант был равен нулю? поясните, пожалуйста)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          D=0 –> один корень –> касание

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




шесть + 13 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif