Задание №20 Т/Р №99 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №17, №18, №19.

При каком наибольшем значении параметра $a$ система уравнений имеет единственное решение

$\begin{cases}(x+a\sqrt3)^2+y^2+6y+8=0,\\\sqrt3|x|+y=6;&\end{cases}$

Решение:

Имеем:

$\begin{cases}(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1,\\\sqrt3|x|+y=6;&\end{cases}$

График $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ – семейство окружностей единичного радиуса с центром в точке $(-a\sqrt3;-3).$

График $y=-\sqrt3|x|+6$ –  два луча  («смотрят» вниз) с началом в точке $(0;6)$, наклоненные к оси $ox$ под углами, тангенс которых равен $\pm \sqrt3.$

Единственное решение – при тех значениях $a$, при которых окружность $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ касается прямой $y=-\sqrt3x+6$ или $y=\sqrt3x+6$  (4 случая).

Наибольшее же значение $a$  – в случае касания окружности $(x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1$ и прямой $y=\sqrt3x+6$  слева.

Потребуем, чтобы $D=0$ для $(x+a\sqrt3)^2+(\sqrt3x+6+3)^2=1$.

Имеем

$x^2+2\sqrt3ax+3a^2+3x^2+18\sqrt3x+81-1=0;$

$4x^2+2(\sqrt3a+9\sqrt3)x+3a^2+80=0;$

$\frac{D}{4}=(\sqrt3a+9\sqrt3)^2-4(3a^2+80);$

$\frac{D}{4}=-9a^2+54a-77;$

$D=0$ <=> $9a^2-54a+77=0;$

Тогда

$a=\frac{27\pm \sqrt{27^2-693}}{9};$

$a=\frac{11}{3}$ или $a=\frac{7}{3}.$

Наше значение $a$ – это  $\frac{11}{3}$.

Ответ: $\frac{11}{3}.$