Задание №20 Т/Р №99 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15 №16№17№18№19.

При каком наибольшем значении параметра a система уравнений имеет единственное решение

 \begin{cases} (x+a\sqrt3)^2+y^2+6y+8=0,& &\sqrt3|x|+y=6;& \end{cases}

Решение:

Имеем:

 \begin{cases} (x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1,& &\sqrt3|x|+y=6;& \end{cases}

График (x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1 – семейство окружностей единичного радиуса с центром в точке (-a\sqrt3;-3).

График y=-\sqrt3|x|+6 –  два луча  («смотрят» вниз) с началом в точке (0;6), наклоненные к оси ox под углами, тангенс которых равен \pm \sqrt3.

Единственное решение – при тех значениях a, при которых окружность (x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1 касается прямой y=-\sqrt3x+6 или y=\sqrt3x+6  (4 случая).

Наибольшее же значение a  – в случае касания окружности (x+a\sqrt3)^2+(y+3)^2=1 и прямой y=\sqrt3x+6  слева.

Потребуем, чтобы D=0 для (x+a\sqrt3)^2+(\sqrt3x+6+3)^2=1.

Имеем

x^2+2\sqrt3ax+3a^2+3x^2+18\sqrt3x+81-1=0;

4x^2+2(\sqrt3a+9\sqrt3)x+3a^2+80=0;

\frac{D}{4}=(\sqrt3a+9\sqrt3)^2-4(3a^2+80);

\frac{D}{4}=-9a^2+54a-77;

D=0 <=> 9a^2-54a+77=0;

Тогда

a=\frac{27\pm \sqrt{27^2-693}}{9};

a=\frac{11}{3} или a=\frac{7}{3}.

Наше значение a – это  \frac{11}{3}.

Ответ: \frac{11}{3}.

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Елена

    Спасибо, Елена.
    Люблю графический метод.

    [ Ответить ]
  2. василий

    Лена, здравствуйте! Огромное спасибо за Ваши разработки!
    Желаю всего самого наилучшего и поздравляю с наступившим Новым Годом!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Василий, спасибо! И Вам – всех благ! ;)

      [ Ответить ]
      • Daniil Ischez

        алгоритм ясен, спасибо. но почему мы требуем, что-бы дискриминант был равен нулю? поясните, пожалуйста)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          D=0 –> один корень –> касание

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif