Задание №14 Т/Р №197 А. Ларина

2017-05-15

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

14. В конусе с вершиной в точке P высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр CD и перпендикулярную ему хорду AB. Известно, что хорда

AB удалена от центра основания на расстояние, равное 1.

а) Докажите, что треугольник PAB прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид CAPB и DAPB.

Решение:

a) Пусть O – центр основания конуса.

Из треугольника APO:

R=OA=OB=\sqrt{AP^2-PO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3.

Пусть T – точка пересечения перпендикулярных хорд CD,AB  (OT – расстояние от O до хорды AB). Так как треугольник AOB – равнобедренный, то T – середина AB.

Из треугольника OBT:

TB=\sqrt{OB^2-OT^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2-1^2}=\sqrt2.

Тогда AB=2\sqrt2.

Итак, в треугольнике APB имеем:

AP=PB=2 и AB=2\sqrt2,

то есть AB^2=AP^2+PB^2, а значит, треугольник APB прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

б) Сумма объемов пирамид CAPB и DAPB равна объему пирамиды CADBP.

V_{CADBP}=\frac{1}{3}\cdot S_{CADB}\cdot OP=\frac{1}{3}\cdot (S_{CAB}+S_{ADB})\cdot OP=

=\frac{1}{3}\cdot (\frac{AB\cdot CT}{2}+\frac{AB\cdot TD}{2})\cdot OP=\frac{1}{3}\cdot (\frac{2\sqrt2\cdot (\sqrt3-1)}{2}+\frac{2\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{2})\cdot 1=\frac{2\sqrt6}{3}.

Ответ: б) \frac{2\sqrt6}{3}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

19 − 12 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif