Задание №14 Т/Р №197 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

14. В конусе с вершиной в точке $P$ высота равна $1$, а образующая равна $2$. В основании конуса провели диаметр $CD$ и перпендикулярную ему хорду $AB$. Известно, что хорда

$AB$ удалена от центра основания на расстояние, равное $1$.

а) Докажите, что треугольник $PAB$ прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид $CAPB$ и $DAPB$.

Решение:

a) Пусть $O$ – центр основания конуса.

Из треугольника $APO:$

$R=OA=OB=\sqrt{AP^2-PO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3.$

Пусть $T$ – точка пересечения перпендикулярных хорд $CD,AB$  ($OT$ – расстояние от $O$ до хорды $AB$). Так как треугольник $AOB$ – равнобедренный, то $T$ – середина $AB.$

Из треугольника $OBT:$

$TB=\sqrt{OB^2-OT^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2-1^2}=\sqrt2.$

Тогда $AB=2\sqrt2.$

Итак, в треугольнике $APB$ имеем:

$AP=PB=2$ и $AB=2\sqrt2,$

то есть $AB^2=AP^2+PB^2,$ а значит, треугольник $APB$ прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

б) Сумма объемов пирамид $CAPB$ и $DAPB$ равна объему пирамиды $CADBP.$

$V_{CADBP}=\frac{1}{3}\cdot S_{CADB}\cdot OP=\frac{1}{3}\cdot (S_{CAB}+S_{ADB})\cdot OP=$

$=\frac{1}{3}\cdot (\frac{AB\cdot CT}{2}+\frac{AB\cdot TD}{2})\cdot OP=\frac{1}{3}\cdot (\frac{2\sqrt2\cdot (\sqrt3-1)}{2}+\frac{2\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{2})\cdot 1=\frac{2\sqrt6}{3}.$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt6}{3}.$