Задание №18 Т/Р №197 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{4x-x^2}\cdot log_2(x^2-2ax+a^2)=0$

имеет ровно три различных корня.

Решение:

$\sqrt{4x-x^2}\cdot log_2(x^2-2ax+a^2)=0;$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}4x-x^2=0,\\log_2(x^2-2ax+a^2)=0;\end{array}\right.\\4x-x^2\geq 0,\\x^2-2ax+a^2>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\x=4,\\x^2-2ax+a^2=1;\end{array}\right.\\x(4-x)\geq 0,\\(x-a)^2>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\x=4,\\x=a+1,\\x=a-1;\end{array}\right.\\x(4-x)\geq 0,\\x\neq a;&\end{cases}$

Работаем в системе координат (ax).

Прямые 3-й, 4-й строк совокупности “урезаются” с учетом ограничения $x\in [0;4]$  (см. рис).

Из прямых 1-й, 2-й строк совокупности “удаляются” точки $(0;0),(4;4)$ соответственно (см. рис).

Множество точек, являющихся решением исходного уравнения, на рисунке показаны синим цветом:

Становится видно, что три корня исходное уравнение будет иметь при

$a\in (-1;0)\cup (0;1]\cup [3;4)\cup (4;5).$

Ответ: $(-1;0)\cup (0;1]\cup [3;4)\cup (4;5).$