Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.
14. Дана правильная пирамида с вершиной в точке
. Через точку
перпендикулярно прямой
проведена плоскость Ω, которая пересекает
в точке
.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна и высота пирамиды равна
.
Решение:
a)
– наклонная к плоскости
– проекция
на
лежит в
и
(так как
– квадрат). Тогда по теореме о трех перпендикулярах и 
Что и требовалось доказать. 

б) Пусть
– точка пересечения
и
где
– центр основания пирамиды.
В плоскости
через точку
строим прямую
параллельную
Пусть
пересекается с
в точке
с
– в точке 
Так как
(пункт а), то и 
Заметим, прямая
перпендикулярна
так как
по условию и
по теореме от трех перпендикулярах.
Четырехугольник
– искомое сечение.
Из треугольника 
Тогда
Из треугольника 
Далее замечаем, что
то есть 
Пусть тогда
Откуда
Из подобия треугольников 
Стало быть,
то есть
– середина отрезка
.
Итак,
Ответ: б) 
Добавить комментарий