Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.
14. Дана правильная пирамида 
с вершиной в точке 
. Через точку 
перпендикулярно прямой 
проведена плоскость Ω, которая пересекает в точке 
.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 
и высота пирамиды равна .
Решение:
a) 
– наклонная к плоскости 
– проекция на 
лежит в 
и 
(так как 
– квадрат). Тогда по теореме о трех перпендикулярах и 
– наклонная к плоскости 
– проекция на лежит в 
и 
(так как 
– квадрат). Тогда по теореме о трех перпендикулярах и 
Что и требовалось доказать. 
б) Пусть 
– точка пересечения и 
где 
– центр основания пирамиды.
– точка пересечения и 
где 
– центр основания пирамиды.В плоскости 
через точку строим прямую 
параллельную 
Пусть пересекается с 
в точке 
с 
– в точке 
через точку строим прямую 
параллельную 
Пусть пересекается с 
в точке 
с 
– в точке 
Так как 
(пункт а), то и 
(пункт а), то и 
Заметим, прямая 
перпендикулярна 
так как 
по условию и 
по теореме от трех перпендикулярах.
перпендикулярна 
так как 
по условию и 
по теореме от трех перпендикулярах.Четырехугольник 
– искомое сечение.
– искомое сечение.
Из треугольника 
Тогда
Из треугольника 
Далее замечаем, что 
то есть 
то есть 
Пусть тогда
Откуда
Из подобия треугольников 
Стало быть, 
то есть – середина отрезка 
.
то есть – середина отрезка 
.
Итак,
Ответ: б) 
Добавить комментарий