Задание №14 Т/Р №205 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

14. Дана правильная пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $DP$ проведена плоскость Ω, которая пересекает $DP$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $AC$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна $6$ и высота пирамиды равна $6$.

Решение:

a) $BK$ – наклонная к плоскости $(ABC),$ $BD$ – проекция $BK$ на $(ABC),$ $AC$ лежит в $(ABC)$ и $AC\perp BD$ (так как $ABCD$ – квадрат). Тогда по теореме о трех перпендикулярах и $BK\perp AC.$
Что и требовалось доказать. 
б) Пусть $L$ – точка пересечения $BK$ и $PO,$ где $O$ – центр основания пирамиды.
В плоскости $APC$ через точку $L$ строим прямую $l,$ параллельную $AC.$ Пусть $L$ пересекается с $AP$ в точке $T,$ с $CP$ – в точке $F.$
Так как $BK\perp AC$ (пункт а), то и $BK\perp FT.$
Заметим, прямая $PD$ перпендикулярна $TKFB,$ так как $PD\perp BK$ по условию и $PD\perp AC$ по теореме от трех перпендикулярах.
Четырехугольник $TKFB$ – искомое сечение.
$S_{TKFB}=\frac{1}{2}\cdot TF\cdot BK\cdot sin(\angle TLK)=\frac{1}{2}\cdot TF\cdot BK\cdot 1.$
Из треугольника $PDO$
$tgD=\frac{PO}{PD}=\frac{6}{3\sqrt2}=\sqrt2.$
Тогда
$sin D=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}.$
Из треугольника $BKD$
$BK=BD\cdot sin D=6\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt3}=4\sqrt3.$
Далее замечаем, что $\angle PDB=\angle PLK,$ то есть $sin PLK=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}.$
Пусть тогда
$PK=\sqrt2x,PL=\sqrt3 x.$
Откуда
$LK=x,LO=6-\sqrt3x.$
Из подобия  треугольников $BLO,PLK$
 $\frac{BO}{PK}=\frac{LO}{LK};$
$\frac{3\sqrt2}{\sqrt2x}=\frac{6-\sqrt3x}{x};$
$x=\sqrt3.$
Стало быть, $PL=3,$ то есть $O$ – середина  отрезка $PO$.
$TF=\frac{BD}{2}=3\sqrt2.$
Итак,
$S_{TKFB}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt2\cdot 4\sqrt3=6\sqrt6.$
Ответ: б) $6\sqrt6.$
Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




двадцать + двенадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif