Задание №14 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

14. Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку B перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке K.

а) Докажите, что прямые BK и AC перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Решение:

a) BK – наклонная к плоскости (ABC), BD – проекция BK на (ABC), AC лежит в (ABC) и AC\perp BD (так как ABCD – квадрат). Тогда по теореме о трех перпендикулярах и BK\perp AC.
Что и требовалось доказать. 
б) Пусть L – точка пересечения BK и PO, где O – центр основания пирамиды.
В плоскости APC через точку L строим прямую l, параллельную AC. Пусть L пересекается с AP в точке T, с CP – в точке F.
Так как BK\perp AC (пункт а), то и BK\perp FT.
Заметим, прямая PD перпендикулярна TKFB, так как PD\perp BK по условию и PD\perp AC по теореме от трех перпендикулярах.
Четырехугольник TKFB – искомое сечение.
S_{TKFB}=\frac{1}{2}\cdot TF\cdot BK\cdot sin(\angle TLK)=\frac{1}{2}\cdot TF\cdot BK\cdot 1.
Из треугольника PDO
tgD=\frac{PO}{PD}=\frac{6}{3\sqrt2}=\sqrt2.
Тогда
sin D=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}.
Из треугольника BKD
BK=BD\cdot sin D=6\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Далее замечаем, что \angle PDB=\angle PLK, то есть sin PLK=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}.
Пусть тогда
PK=\sqrt2x,PL=\sqrt3 x.
Откуда
LK=x,LO=6-\sqrt3x.
Из подобия  треугольников BLO,PLK
 \frac{BO}{PK}=\frac{LO}{LK};
\frac{3\sqrt2}{\sqrt2x}=\frac{6-\sqrt3x}{x};
x=\sqrt3.
Стало быть, PL=3, то есть O – середина  отрезка PO.
TF=\frac{BD}{2}=3\sqrt2.
Итак,
S_{TKFB}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt2\cdot 4\sqrt3=6\sqrt6.
Ответ: б) 6\sqrt6.
Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два × три =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif