Задание №18 Т/Р №220 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых уравнение

$lg(1-x)+lg(a^2-x^2)=lg(x-a)^2$

имеет ровно одно решение.

Решение:

$lg(1-x)+lg(a^2-x^2)=lg(x-a)^2;$

$\begin{cases}lg((1-x)(a^2-x^2))=lg(x-a)^2,\\x<1;&\end{cases}$

$\begin{cases}(a-x)((1-x)(a+x)-(a-x))=0,\\x\neq a,\\x<1;&\end{cases}$
$\begin{cases}(a-x)(2x-ax-x^2)=0,\\x\neq a,\\x<1;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(a-x)(2-a-x)=0,\\x\neq a,\\x<1;&\end{cases}$

$\begin{cases}x(2-a-x)=0,\\x\neq a,\\x<1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=0,\\a=2-x;\\\end{array}\right.\\x\neq a,\\x<1;&\end{cases}$

Работаем в системе координат $(xoa).$

При $a\in (-\infty;0)\cup(0;1]\cup \left \{ 2 \right \}$ – одно решение.

При $a\in \left \{0\right \}$ решений нет.

При $a\in (1;2)\cup (2;+\infty)$ – два решения.

Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;1]\cup \left \{ 2 \right \}.$