Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.
14. В кубе точка
– центр квадрата
, точка
– центр квадрата
.
а) Докажите, что прямые и
– скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если ребро куба равно
.
Решение:
a) Прямая лежит в плоскости
прямая
лежит в плоскости
Плоскости
пересекаются по прямой
Пусть пересекается с
в точке
Итак, прямая лежит в плоскости
а прямая
имеет с плоскостью
единственную общую точку
причем
не принадлежит прямой
Таким образом, прямые
и
– скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).
б) Пусть – точка пересечения
Из подобия треугольников с коэффициентом
следует:
Из подобия треугольников с коэффициентом
следует:
Таким образом, И поскольку
точка пересечения
также делит
пополам, то
– средняя линия треугольника
то есть
Плоскость содержащая
параллельна прямой
Стало быть, расстояние между прямыми
и
– есть расстояние от любой точки прямой
например, от
до плоскости
Будем искать от
до
как высоту пирамиды
с основанием
С одной стороны, с другой стороны,
Тогда
При этом треугольник – прямоугольный. Действительно, проекция
наклонной
на плоскость
перпендикулярна
стало быть, по теореме о трех перпендикулярах,
перпендикулярна
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий