Задание №14 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-17

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

14. В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка O_1 – центр квадрата ABCD, точка O_2 – центр квадрата CC_1D_1D.
а) Докажите, что прямые A_1O_1 и B_1O_2 – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми A_1O_1 и B_1O_2, если ребро куба равно 2.

Решение:

a) Прямая A_1O_1 лежит в плоскости A_1C_1C, прямая B_1O_2 лежит в плоскости B_1C_1D. Плоскости A_1C_1C,  B_1C_1D пересекаются по прямой AC_1.

Пусть A_1O_1 пересекается с AC_1 в точке M.

Итак, прямая B_1O_2 лежит в плоскости B_1C_1D, а прямая A_1O_1 имеет с плоскостью B_1C_1D единственную общую точку M, причем M не принадлежит прямой B_1O_2. Таким образом, прямые A_1O_1 и B_1O_2 – скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).

б) Пусть L – точка пересечения B_1O_2,AC_1.

Из подобия треугольников AMO_1,C_1MA_1 с коэффициентом 1/2, следует:

AM:MC_1=1:2

Из подобия треугольников C_1LO_2,ALB_1 с коэффициентом 1/2, следует:

C_1L:LA=1:2.

Таким образом, ML=LC_1. И поскольку N, точка пересечения A_1C_1,B_1D_1 также делит A_1C_1 пополам, то LN – средняя линия треугольника A_1C_1M, то есть LN\parallel AO_1.

Плоскость B_1D_1O_2, содержащая LN, параллельна прямой AO_1.

Стало быть, расстояние \rho между прямыми A_1O_1 и B_1O_2 – есть расстояние от любой точки прямой A_1O_1, например, от A_1, до плоскости B_1D_1O_2.

Будем искать \rho от A_1 до B_1D_1O_2  как высоту пирамиды A_1B_1D_1O_2 с основанием B_1D_1O_2.

С одной стороны, V_{A_1B_1D_1O_2}=\frac{S_{B_1D_1O_2}\cdot \rho}{3}, с другой стороны, V_{A_1B_1D_1O_2}=\frac{S_{A_1B_1D_1}\cdot \frac{CC_1}{2}}{3}.

Тогда

\rho=\frac{S_{A_1B_1D_1}\cdot \frac{CC_1}{2}}{S_{B_1D_1O_2}}.

При этом треугольник B_1D_1O_2 – прямоугольный. Действительно, проекция C_1O_2 наклонной B_1O_2 на плоскость CC_1D_1 перпендикулярна D_1O_2, стало быть, по теореме о трех перпендикулярах, B_1O_2 перпендикулярна D_1O_2.

S_{B_1D_1O_2}=\frac{B_1O_2\cdot D_1O_2}{2}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt2}{2}=\sqrt3.

S_{A_1B_1D_1}=2.

Итак,

\rho=\frac{2\cdot 1}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.

Ответ: б) \frac{2\sqrt3}{3}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

13 − 2 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif