Задание №15 Т/Р №220 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$2\sqrt{sin^2x-sinx-1}\geq cos^2x+sinx+3.$

Решение:

$2\sqrt{sin^2x-sinx-1}\geq cos^2x+sinx+3;$

$2\sqrt{sin^2x-sinx-1}\geq 1-sin^2x+sinx+3;$

$(sin^2x-sinx-1)+2\sqrt{sin^2x-sinx-1}-3\geq 0;$

Перед нами квадратное неравенство относительно  $\sqrt{sin^2x-sinx-1}.$

$(\sqrt{sin^2x-sinx-1}-1)(\sqrt{sin^2x-sinx-1}+3)\geq 0.$

Второй множитель левой части – всегда положительная величина. Тогда

$\sqrt{sin^2x-sinx-1}-1\geq 0;$

$sin^2x-sinx-1\geq 1;$

$sin^2x-sinx-2\geq 0;$

$(sinx-2)(sinx+1)\geq 0.$

Так как $sinx-2<0$ при любом $x,$ то:

$sinx+1\leq 0;$
$sinx\leq -1;$

$sinx=-1;$

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z.$

Ответ: $-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z.$