Задание №17 Т/Р №220 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина

17. 1 июля планируется взять кредит в банке на сумму $300$ тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

‐ 15 числа каждого месяца долг возрастает на $10$% по сравнению с началом текущего месяца;

‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.

‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на $144$ тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение:

Пусть кредит был взят на $n$ месяцев.

1-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot 300.$

(оставшийся долг: $1,1\cdot 300-(\frac{300}{n}+0,1\cdot 300)=\frac{300(n-1)}{n}$)

2-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-1)}{n}.$

(оставшийся долг: $\frac{300(n-2)}{n}$)

3-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-2)}{n}.$

 (оставшийся долг: $\frac{300(n-3)}{n}$)

И так далее…

12-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-11)}{n}.$

(оставшийся долг: $\frac{300(n-12)}{n}$)

Выплаты за первый год:

$12\cdot \frac{300}{n}+0,1\cdot 300\cdot (\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{n-11}{n})=\frac{3600}{n}+\frac{30}{n}\cdot \frac{(n+n-11)\cdot 12}{2})=$

$=\frac{3600}{n}+\frac{180(2n-11)}{n}.$

13-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-12)}{n}.$

(оставшийся долг: $\frac{300(n-13)}{n}$)

14-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-13)}{n}.$

(оставшийся долг: $\frac{300(n-14)}{n}$)

И так далее…

24-я выплата составит

$\frac{300}{n}+0,1\cdot\frac{300(n-23)}{n}.$

(оставшийся долг: $\frac{300(n-24)}{n}$)

Выплаты за второй год:

$12\cdot \frac{300}{n}+0,1\cdot 300\cdot (\frac{n-12}{n}+\frac{n-13}{n}+…+\frac{n-23}{n})=\frac{3600}{n}+\frac{30}{n}\cdot \frac{(n-12+n-23)\cdot 12}{2})=$

$=\frac{3600}{n}+\frac{180(2n-35)}{n}.$

Поскольку сумма выплат за первый год оказалась на $144$ тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год, имеем:

$\frac{3600}{n}+\frac{180(2n-11)}{n}-\frac{3600}{n}-\frac{180(2n-35)}{n}=144;$

$\frac{180(2n-11)}{n}-\frac{180(2n-35)}{n}=144;$

$180(2n-11)-180(2n-35)=144n;$

$4320=144n;$

$n=30.$

Итак, кредит был выдан на $30$ месяцев.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита:

$300+0,1\cdot 300(\frac{30}{30}+\frac{29}{30}+\frac{28}{30}+…+\frac{1}{30})=300+\frac{(30+1)\cdot 30}{2}=765.$

Ответ: $30$ месяцев; $765$ тысяч рублей.