Задание №14 Т/Р №215 А. Ларина

Елена Репина 2017-12-14 2017-12-14

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

14. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ – середина ребра $AB$ .

а) Докажите, что плоскость $CKD_1$ делит объем параллелепипеда в отношении $7:17$ .
б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $CKD_1$ , если известно, что ребра $AB,AD,AA_1$ попарно перпендикулярны и равны соответственно $6$ , $4$ и $6$ .

Решение:

а) Пусть прямая $CK$ плоскости $ADC$ пересекается с $AD$ в точке $P.$

Пусть прямая $PD_1$ плоскости $AA_1D_1$ пересекается c $AA_1$ в точке $N.$

$KND_1C$ – сечение параллелепипеда плоскостью $CKD_1.$

Треугольники $KBC,KAP$ равны по II признаку, откуда $AP=BC=A_1D_1.$

Тогда и треугольники $NA_1D_1,NAP$ равны по II признаку, откуда $AN=NA_1,PN=ND_1.$

Итак, каждое ребро пирамиды $PAKN$ вдвое меньше соответствующего ребра пирамиды $PDCD_1.$ Указанные пирамиды подобны, коэффициент подобия – $2.$ Поэтому их объемы отличаются в $8$ раз.

Объем пирамиды $PCDD_1$ – есть треть объема $S$ параллелепипеда (площадь основания пирамиды равна площади основания параллелепипеда и высоты совпадают).