Задание №14 Т/Р №215 А. Ларина

2017-12-14

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

14. В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K – середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость CKD_1 делит объем параллелепипеда в отношении 7:17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости CKD_1, если известно, что ребра AB,AD,AA_1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.

Решение:

а) Пусть прямая CK плоскости ADC пересекается с AD в точке P.

Пусть прямая PD_1 плоскости AA_1D_1 пересекается c AA_1 в точке N.

KND_1C – сечение параллелепипеда плоскостью CKD_1.

Треугольники KBC,KAP равны по II признаку, откуда AP=BC=A_1D_1.

Тогда и треугольники NA_1D_1,NAP равны по II признаку, откуда AN=NA_1,PN=ND_1.

Итак, каждое ребро пирамиды PAKN вдвое меньше соответствующего ребра пирамиды   PDCD_1. Указанные пирамиды подобны,  коэффициент подобия – 2. Поэтому их объемы отличаются в 8 раз.

Объем пирамиды PCDD_1 – есть треть объема S параллелепипеда (площадь основания пирамиды равна площади основания параллелепипеда и высоты совпадают).

Тогда объем части параллелепипеда, что ниже плоскости CKD_1, – есть \frac{S}{3}-\frac{\frac{S}{3}}{8}=\frac{7S}{24}.

Тогда объем части параллелепипеда, что выше плоскости CKD_1, – есть S-\frac{7S}{24}=\frac{14S}{24}.

Итак, плоскость CKD_1 делит объем параллелепипеда в отношении \frac{7S}{24}:\frac{14S}{24}=7:17.

б) С одной стороны,

V_{PCDD_1}=\frac{S_{PCD_1}\cdot \rho}{3},

где \rho – расстояние от точки D до плоскости PCD_1.

С другой стороны,

V_{PCDD_1}=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{3}.

Тогда

\rho=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{S_{PCD_1}}.

S_{PCD}=\frac{CD\cdot PD}{2}=24.

Найдем S_{PCD_1}:

CP=\sqrt{CD^2+PD^2}=\sqrt{36+64}=10.

CD_1=6\sqrt2.

PD_1=\sqrt{DD_1^2+PD^2}=\sqrt{36+64}=10.

Тогда

p_{PCD_1}=\frac{10+10+6\sqrt2}{2}=10+3\sqrt2.

S_{PCD_1}=\sqrt{(10+3\sqrt2)(10-3\sqrt2)(3\sqrt2)^2}=\sqrt{82\cdot 18}=6\sqrt{41}.

Итак,

\rho=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{S_{PCD_1}}=\frac{24\cdot 6}{6\sqrt{41}}=\frac{24}{\sqrt{41}}.

Ответ: б) \frac{24}{\sqrt{41}}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − шесть =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif