Задание №14 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

14. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ – середина ребра $AB$.

а) Докажите, что плоскость $CKD_1$ делит объем параллелепипеда в отношении $7:17$.
б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $CKD_1$, если известно, что ребра $AB,AD,AA_1$ попарно перпендикулярны и равны соответственно $6$, $4$ и $6$.

Решение:

а) Пусть прямая $CK$ плоскости $ADC$ пересекается с $AD$ в точке $P.$

Пусть прямая $PD_1$ плоскости $AA_1D_1$ пересекается c $AA_1$ в точке $N.$

$KND_1C$ – сечение параллелепипеда плоскостью $CKD_1.$

Треугольники $KBC,KAP$ равны по II признаку, откуда $AP=BC=A_1D_1.$

Тогда и треугольники $NA_1D_1,NAP$ равны по II признаку, откуда $AN=NA_1,PN=ND_1.$

Итак, каждое ребро пирамиды $PAKN$ вдвое меньше соответствующего ребра пирамиды   $PDCD_1.$ Указанные пирамиды подобны,  коэффициент подобия – $2.$ Поэтому их объемы отличаются в $8$ раз.

Объем пирамиды $PCDD_1$ – есть треть объема $S$ параллелепипеда (площадь основания пирамиды равна площади основания параллелепипеда и высоты совпадают).

Тогда объем части параллелепипеда, что ниже плоскости $CKD_1,$ – есть $\frac{S}{3}-\frac{\frac{S}{3}}{8}=\frac{7S}{24}.$

Тогда объем части параллелепипеда, что выше плоскости $CKD_1,$ – есть $S-\frac{7S}{24}=\frac{14S}{24}.$

Итак, плоскость $CKD_1$ делит объем параллелепипеда в отношении $\frac{7S}{24}:\frac{14S}{24}=7:17$.

б) С одной стороны,

$V_{PCDD_1}=\frac{S_{PCD_1}\cdot \rho}{3},$

где $\rho$ – расстояние от точки $D$ до плоскости $PCD_1.$

С другой стороны,

$V_{PCDD_1}=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{3}.$

Тогда

$\rho=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{S_{PCD_1}}.$

$S_{PCD}=\frac{CD\cdot PD}{2}=24.$

Найдем $S_{PCD_1}:$

$CP=\sqrt{CD^2+PD^2}=\sqrt{36+64}=10.$

$CD_1=6\sqrt2.$

$PD_1=\sqrt{DD_1^2+PD^2}=\sqrt{36+64}=10.$

Тогда

$p_{PCD_1}=\frac{10+10+6\sqrt2}{2}=10+3\sqrt2.$

$S_{PCD_1}=\sqrt{(10+3\sqrt2)(10-3\sqrt2)(3\sqrt2)^2}=\sqrt{82\cdot 18}=6\sqrt{41}.$

Итак,

$\rho=\frac{S_{PCD}\cdot DD_1}{S_{PCD_1}}=\frac{24\cdot 6}{6\sqrt{41}}=\frac{24}{\sqrt{41}}.$

Ответ: б) $\frac{24}{\sqrt{41}}.$