Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.
14. В параллелепипеде точка
– середина ребра
.
а) Докажите, что плоскость делит объем параллелепипеда в отношении
.
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
, если известно, что ребра
попарно перпендикулярны и равны соответственно
,
и
.
Решение:
а) Пусть прямая плоскости
пересекается с
в точке
Пусть прямая плоскости
пересекается c
в точке
– сечение параллелепипеда плоскостью
Треугольники равны по II признаку, откуда
Тогда и треугольники равны по II признаку, откуда
Итак, каждое ребро пирамиды вдвое меньше соответствующего ребра пирамиды
Указанные пирамиды подобны, коэффициент подобия –
Поэтому их объемы отличаются в
раз.
Объем пирамиды – есть треть объема
параллелепипеда (площадь основания пирамиды равна площади основания параллелепипеда и высоты совпадают).
Тогда объем части параллелепипеда, что ниже плоскости – есть
Тогда объем части параллелепипеда, что выше плоскости – есть
Итак, плоскость делит объем параллелепипеда в отношении
.
б) С одной стороны,
где – расстояние от точки
до плоскости
С другой стороны,
Тогда
Найдем
Тогда
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий