Задание №17 Т/Р №105 А. Ларина

Елена Репина 2015-02-19 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$\frac{log_2(2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9)}{x+3}\leq 1.$

Решение:

$\frac{log_2(2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9)}{x+3}\leq 1;$

$\frac{log_2(2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9)-(x+3)}{x+3}\leq 0;$

$\frac{log_2(2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9)-log_22^{x+3}}{x+3}\leq 0;$

$\frac{log_2(\frac{2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9}{2^{x+3}})}{x+3}\leq 0;$

$\begin{cases} \frac{\frac{2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9}{2^{x+3}}-1}{x+3}\leq 0,& &2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9>0;& \end{cases}$

(домножаем обе части первого неравенства системы на $2^{x+3}$ (заметим, $2^{x+3}>0$ )

$\begin{cases} \frac{2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9-2^{x+3}}{x+3}\leq 0,& &(2^x-\frac{9}{2})(2^x-1)>0;& \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{2\cdot 4^x-11\cdot 2^x+9-8\cdot 2^{x}}{x+3}\leq 0,& &(2^x-\frac{9}{2})(2^x-1)>0;& \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{2\cdot 4^x-19\cdot 2^x+9}{x+3}\leq 0,& &(2^x-\frac{9}{2})(2^x-1)>0;& \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{(2^x-9)(2^x-\frac{1}{2})}{x+3}\leq 0,& &(2^x-\frac{9}{2})(2^x-1)>0;& \end{cases}$

(применяем к неравенствам системы метод замены множителей)

$\begin{cases} \frac{(x-log_29)(x+1)}{x+3}\leq 0,& &x(x-log_2\frac{9}{2})>0;& \end{cases}$

$x\in (-\infty;-3)\cup [-1;0)\cup (2log_23-1;2log_23].$

Ответ: $(-\infty;-3)\cup [-1;0)\cup (2log_23-1;2log_23].$

Автор: egeMax | комментариев 5

комментариев 5