Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 Т/Р №105 А. Ларина

19 Фев 2015

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 Т/Р №105 А. Ларина

Елена Репина 2015-02-19 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$ являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение:

Для того, чтобы исходное уравнение имело 4 корня, необходимо, чтобы уравнение $t^2+(a-5)t+(a+2)^2=0$ ( $t=x^2$ ) имело два различных положительных корня.

Поэтому, во-первых, потребуем выполнения следующих условий:

$\begin{cases} (a-5)^2-4(a+2)^2>0,& &a-5<0,& &(a+2)^2>0;& \end{cases}$

Имеем:

$\begin{cases} (a+9)(3a-1)<0,& &a<5,& &a\neq -2;& \end{cases}$

$a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3}).$

При соблюдении указанных условий корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$ – это

$x=\pm\sqrt{\frac{5-a\pm \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}.$

Расставим корни уравнения по возрастанию:

$x_1=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$ ; $x_2=-\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$ ; $x_3=-x_2=\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$ ; $x_4=-x_1=\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$ .

Для того, чтобы указанные корни являлись членами арифметической прогрессии, потребуем: $x_2=\frac{x_1+x_3}{2}$ и $x_3=\frac{x_2+x_4}{2}.$ Откуда $3x_2=x_1$ .

Имеем:

$-3\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}};$

$9\cdot \frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}=\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2};$

$8(5-a)=10\sqrt{9-26a-3a^2};$

$4(5-a)=5\sqrt{9-26a-3a^2};$

$16(25-10a+a^2)=25(9-26a-3a^2), a\leq 5;$

$91a^2+490a+175=0,a\leq 5;$

$a=\frac{-245\pm \sqrt{60025-15925}}{91},a\leq 5;$

$a=\frac{-245\pm 210}{91},a\leq 5;$

$a=-5$ или $a=-\frac{5}{13};$

Найденные значения $a$ отвечают условию $a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3})$ , о котором говорилось в начале решения.

Ответ: $-5;-\frac{5}{13}.$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Артем

2015-05-20 в 23:36

Не подскажете,пожалуйста,зачем мы изначально налажили условие,что а-50 ??

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-21 в 07:32
  
  Артем, по т. Виета средний коэффициент, взятый со знаком минус, есть сумма корней уравнения. Нам нужно, чтобы оба корня были положительными, значит упомянутый коэффициент должен быть отрицательным.
  
  [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №105 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ