Задание №20 Т/Р №105 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

Найдите все значения $a$, при каждом из которых корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$  являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение:

Для того, чтобы исходное уравнение имело 4 корня, необходимо, чтобы уравнение $t^2+(a-5)t+(a+2)^2=0$  ($t=x^2$)  имело два различных положительных корня.

Поэтому, во-первых, потребуем выполнения следующих условий:

$\begin{cases}(a-5)^2-4(a+2)^2>0,\\a-5<0,\\(a+2)^2>0;&\end{cases}$

Имеем:
$\begin{cases}(a+9)(3a-1)<0,\\a<5,\\a\neq -2;&\end{cases}$

$a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3}).$

При соблюдении указанных условий корни уравнения $x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0$  – это

$x=\pm\sqrt{\frac{5-a\pm \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}.$

Расставим корни уравнения по возрастанию:

$x_1=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$; $x_2=-\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$; $x_3=-x_2=\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$; $x_4=-x_1=\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}$.

 Для того, чтобы указанные корни являлись членами арифметической прогрессии, потребуем: $x_2=\frac{x_1+x_3}{2}$ и $x_3=\frac{x_2+x_4}{2}.$ Откуда $3x_2=x_1$.

Имеем:

$-3\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}};$

Далее

$9\cdot \frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}=\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2};$

$8(5-a)=10\sqrt{9-26a-3a^2};$

$4(5-a)=5\sqrt{9-26a-3a^2};$

$16(25-10a+a^2)=25(9-26a-3a^2), a\leq 5;$

$91a^2+490a+175=0,a\leq 5;$

$a=\frac{-245\pm \sqrt{60025-15925}}{91},a\leq 5;$

$a=\frac{-245\pm 210}{91},a\leq 5;$

$a=\frac{-245\pm 210}{91},a\leq 5;$

$a=-5$ или $a=-\frac{5}{13};$

Найденные значения $a$ отвечают условию $a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3})$, о котором говорилось в начале решения.

Ответ: $-5;-\frac{5}{13}.$