Задание №20 Т/Р №105 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения a, при каждом из которых корни уравнения x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0  являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решение:

Для того, чтобы исходное уравнение имело 4 корня, необходимо, чтобы уравнение t^2+(a-5)t+(a+2)^2=0  (t=x^2)  имело два различных положительных корня.

Поэтому, во-первых, потребуем выполнения следующих условий:

  \begin{cases} (a-5)^2-4(a+2)^2>0,& &a-5<0,& &(a+2)^2>0;& \end{cases}

Имеем:

 \begin{cases} (a+9)(3a-1)<0,& &a<5,& &a\neq -2;& \end{cases}

a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3}).

При соблюдении указанных условий корни уравнения x^4+(a-5)x^2+(a+2)^2=0  – это

x=\pm\sqrt{\frac{5-a\pm \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}.

Расставим корни уравнения по возрастанию:

x_1=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}; x_2=-\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}x_3=-x_2=\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}x_4=-x_1=\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}.

 Для того, чтобы указанные корни являлись членами арифметической прогрессии, потребуем: x_2=\frac{x_1+x_3}{2} и x_3=\frac{x_2+x_4}{2}. Откуда 3x_2=x_1.

Имеем:

-3\sqrt{\frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2}};

Далее

9\cdot \frac{5-a-\sqrt{9-26a-3a^2}}{2}=\frac{5-a+ \sqrt{9-26a-3a^2}}{2};

8(5-a)=10\sqrt{9-26a-3a^2};

4(5-a)=5\sqrt{9-26a-3a^2};

16(25-10a+a^2)=25(9-26a-3a^2), a\leq 5;

91a^2+490a+175=0,a\leq 5;

a=\frac{-245\pm \sqrt{60025-15925}}{91},a\leq 5;

a=\frac{-245\pm 210}{91},a\leq 5;

a=\frac{-245\pm 210}{91},a\leq 5;

a=-5 или a=-\frac{5}{13};

Найденные значения a отвечают условию a\in (-9;-2)\cup (-2;\frac{1}{3}), о котором говорилось в начале решения.

Ответ: -5;-\frac{5}{13}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Артем

    Не подскажете,пожалуйста,зачем мы изначально налажили условие,что а-50 ??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Артем, по т. Виета средний коэффициент, взятый со знаком минус, есть сумма корней уравнения. Нам нужно, чтобы оба корня были положительными, значит упомянутый коэффициент должен быть отрицательным.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif