Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

2017-12-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L.

а) Докажите, что KL – биссектриса угла AKB.
б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол AKB равен 90^{\circ}.

Решение:

а) Пусть O_1,O_2 – центры малой и большой окружностей соответственно. Пусть малая окружность пересекается с KA,KB в точках N и M соответственно.

Треугольник AKO_2 подобен треугольнику NKO_1 (оба треугольника равнобедренные и углы при основаниях совпадают).

Тогда

KN:AK=KO_1:KO_2.

Аналогично из подобия KO_2B,KO_1M

KM:BK=KO_1:KO_2.

Тогда

KN:AK=KM:BK

 или

\frac{AK-AN}{AK}=\frac{BK-BM}{BK};

AN:AK=BM:BK;

AN:BM=AK:BK.

По свойству касательной и секущей, проведенными из одной точки к окружности,

AL^2=AN\cdot AK  и  BL^2=BM\cdot BK.

Откуда

\frac{AL^2}{BL^2}=\frac{AN\cdot AK}{BM\cdot BK}=\frac{AK^2}{BK^2},

то есть

\frac{AL}{BL}=\frac{AK}{BK}.

Но тогда KL – биссектриса треугольника AKB.

б) Так как угол AKB – прямой, то AB – диаметр большей окружности.

Помним, точка касания окружностей всегда лежит на линии центров окружностей.

O_2O_1=4,O_1K=O_1L=2.

Так как в прямоугольном треугольнике O_1LO_2 катет O_1L вдвое меньше гипотенузы, то \angle O_2=30^{\circ}. И O_2L=2\sqrt3.

Из треугольника O_2KL по теореме косинусов:

KL^2=O_2K^2+O_2L^2-2\cdot O_2K\cdot O_2L\cdot cosO_2;

KL^2=36+12-2\cdot 6\cdot 2\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2};

KL^2=12;

KL=2\sqrt3.

Ответ: б) 2\sqrt3.

См. аналогичную задачу здесь

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif