Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$. Пусть $AB$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $L$.

а) Докажите, что $KL$ – биссектриса угла $AKB$.
б) Найдите длину отрезка $KL$, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно $6$ и $2$, а угол $AKB$ равен $90^{\circ}.$

Решение:

а) Пусть $O_1,O_2$ – центры малой и большой окружностей соответственно. Пусть малая окружность пересекается с $KA,KB$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

Треугольник $AKO_2$ подобен треугольнику $NKO_1$ (оба треугольника равнобедренные и углы при основаниях совпадают).

Тогда

$KN:AK=KO_1:KO_2.$

Аналогично из подобия $KO_2B,KO_1M$

$KM:BK=KO_1:KO_2.$

Тогда

$KN:AK=KM:BK$

 или

$\frac{AK-AN}{AK}=\frac{BK-BM}{BK};$

$AN:AK=BM:BK;$

$AN:BM=AK:BK.$

По свойству касательной и секущей, проведенными из одной точки к окружности,

$AL^2=AN\cdot AK$  и  $BL^2=BM\cdot BK.$

Откуда

$\frac{AL^2}{BL^2}=\frac{AN\cdot AK}{BM\cdot BK}=\frac{AK^2}{BK^2},$

то есть

$\frac{AL}{BL}=\frac{AK}{BK}.$

Но тогда $KL$ – биссектриса треугольника $AKB.$

б) Так как угол $AKB$ – прямой, то $AB$ – диаметр большей окружности.

Помним, точка касания окружностей всегда лежит на линии центров окружностей.

$O_2O_1=4,O_1K=O_1L=2.$

Так как в прямоугольном треугольнике $O_1LO_2$ катет $O_1L$ вдвое меньше гипотенузы, то $\angle O_2=30^{\circ}.$ И $O_2L=2\sqrt3.$

Из треугольника $O_2KL$ по теореме косинусов:

$KL^2=O_2K^2+O_2L^2-2\cdot O_2K\cdot O_2L\cdot cosO_2;$

$KL^2=36+12-2\cdot 6\cdot 2\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2};$

$KL^2=12;$

$KL=2\sqrt3.$

Ответ: б) $2\sqrt3.$

См. аналогичную задачу здесь