Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.
16. Две окружности касаются внутренним образом в точке . Пусть
– хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке
.
а) Докажите, что – биссектриса угла
.
б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно
и
, а угол
равен
Решение:
а) Пусть – центры малой и большой окружностей соответственно. Пусть малая окружность пересекается с
в точках
и
соответственно.
Треугольник подобен треугольнику
(оба треугольника равнобедренные и углы при основаниях совпадают).
Тогда
Аналогично из подобия
Тогда
или
По свойству касательной и секущей, проведенными из одной точки к окружности,
и
Откуда
то есть
Но тогда – биссектриса треугольника
б) Так как угол – прямой, то
– диаметр большей окружности.
Помним, точка касания окружностей всегда лежит на линии центров окружностей.
Так как в прямоугольном треугольнике катет
вдвое меньше гипотенузы, то
И
Из треугольника по теореме косинусов:
Ответ: б)
См. аналогичную задачу здесь
Добавить комментарий