Задание №16 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке . Пусть – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке .

а) Докажите, что – биссектриса угла .
б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно и , а угол равен

Решение:

а) Пусть – центры малой и большой окружностей соответственно. Пусть малая окружность пересекается с в точках и соответственно.

Треугольник подобен треугольнику (оба треугольника равнобедренные и углы при основаниях совпадают).

Тогда

Аналогично из подобия

Тогда

 или

По свойству касательной и секущей, проведенными из одной точки к окружности,

 и  

Откуда

то есть

Но тогда – биссектриса треугольника

б) Так как угол – прямой, то – диаметр большей окружности.

Помним, точка касания окружностей всегда лежит на линии центров окружностей.

Так как в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то И 

Из треугольника по теореме косинусов:

Ответ: б)

См. аналогичную задачу здесь