ДВИ в МГУ 2016

Елена Репина 2017-06-20 2017-12-11

Дополнительное вступительное испытание по математике в МГУ, 2016 г.

1. Найдите $f(\frac{7}{3}),$ если $f(x)=\frac{x}{x-1}+\frac{5}{3}.$

2. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x^2+ax-10=0$ равна $7$ . Найдите все возможные значения $a.$

Решение: + показать

3. Решите уравнение $8cos^2x+sin2x=3+2cos2x.$

Решение: + показать

4. Решите неравенство $log_{1-log_x2}(1+log^2_2x)\leq 1.$

Решение: + показать

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A.$ Хорда $BC$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $D.$ Прямая $AD$ пересекает внешнюю окружность в точках $A$ и $E.$ Найдите $BE,$ если известно, что $EC=CA,$ а площадь четырехугольника $ABEC$ равна $3\sqrt3,$ а радиусы окружностей относятся как $2:3.$

Решение: + показать

6. Ровно в 10:00 из пункта А в пункт Б выехала маршрутка. Проехав треть пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал грузовик. Когда до пункта А оставалась шестая часть пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт А, если известно, что велосипедист прибыл в пункт А ровно в 15:00. Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.

Решение: + показать

7. В основании правильной пирамиды с вершиной $V$ лежит шестиугольник $KLMNOP$ со сторонкой $5.$ Плоскость $\pi$ параллельна ребру $KL,$ перпендикулярна плоскости $NOV$ и пересекает ребро $LM$ в точке $T,$ так что $LT:TM=3:2.$ Кроме того, прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскость $LMV$ и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $\pi$ от грани $MNV.$

Решение: + показать

Так как плоскость $\pi$ имеет общую точку $T$ с плоскостью $MLK$ и параллельна $LK,$ то по свойству прямой, параллельной плоскости, $\pi$ пересекается с $MLK$ по прямой, параллельной $LK$ . Пусть эта прямая пересекает $PK$ в точке $Q.$

Пусть $Z,X$ – середины $NO,LK$ соответственно. Плоскость $ZXV$ перпендикулярна плоскости $NOV,$ так как $NOV$ содержит перпендикуляр $NO$ к плоскости $ZXV.$ Линия пересечения указанных плоскостей – $ZV.$ Если в плоскости $ZXV$ к указанной линии провести перпендикуляр, то он будет и перпендикуляром к плоскости $NOV$ по свойству перпендикулярных плоскостей.

Поскольку по условию прямые, по которым $\pi$ пересекает плоскость $LMV$ и плоскость основания, перпендикулярны, то перпендикулярными будут и пара “линия пересечения $\pi$ с $MLK$ – проекция прямой пересечения $\pi$ с $LMV.$ “

Потому строим перпендикуляр $TD_1$ к $MP,$ или проводим прямую $TD_1$ , параллельно $ZX.$

Проводя в плоскости $MPV$ прямую, параллельную высоте $VH$ пирамиды до пересечения с $MV$ в точке $D$ получаем в итоге прямую $TD,$ по которой пересекаются плоскости $\pi$ и $LMV.$

Пусть $TQ$ пересекается с $ZX$ в точке $W.$ Пусть $WY\perp ZV.$ Плоскость $\pi$ пересечет плоскость $NOV$ по прямой ( $AB$ , $A\pn NV,B\in OV$ ), параллельной $LK.$ Конечно же, точка $Y$ лежит на $AB$ (середина $AB$ ).

Заметим, если $E$ – точка пересечения $NM, TQ,$ то $E,D$ и $A$ лежат на одной прямой.

Аналогично точки $D$ выстраиваем точку $C$ пересечения $\pi$ с ребром $PV.$

Сечение данной пирамиды плоскостью $\pi$ есть шестиугольник $TQPCBAD.$

Будем искать площадь треугольника $ADV$ через площадь его проекции $A_1D_1H$ на плоскость основания пирамиды. При этом, очевидно, косинус угла между плоскостями $MNV,MLK$ – косинус угла между плоскостями $NOV, MLK.$

Треугольно $MTE$ – равносторонний. Треугольник $MD_1T$ – прямоугольный, угол $T$ в нем – $30^{\circ},$ $MT=2,$ следовательно $MD_1=1.$

Треугольники $ESA_1,D_1HA_1$ подобны.

$\frac{D_1H}{ES}=\frac{A_1H}{A_1H+HS};$

$\frac{4}{7}=\frac{A_1H}{A_1H+2};$

$A_1H=\frac{8}{3}.$

Треугольник $ZYW,ZHV$ подобны по двум углам и

$\frac{ZY}{ZH}=\frac{ZW}{ZV};$

$\frac{ZY}{\frac{5\sqrt3}{2}}=\frac{\frac{7\sqrt3}{2}}{ZV};$

$ZV\cdot ZY=\frac{105}{4}.$

При этом $\frac{ZV}{ZY}=\frac{ZH}{ZY_1}=\frac{\frac{5\sqrt3}{2}}{\frac{7\sqrt3}{6}}=\frac{15}{7}.$

Тогда $\frac{15}{7}ZY^2=\frac{105}{4},$ откуда $ZY=\frac{7}{2}.$

$cos YZW=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3.}$

Наконец, учитывая, что $S_{A_1D_1H}=\frac{\frac{8}{3}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{8\sqrt3}{3},$ получаем, что $S_{ADV}=\frac{8}{\sqrt3}\cdot \sqrt3=8.$

Ответ: $8.$

8. Найдите наименьшее значение выражения

$\sqrt{13+log^2_acos\frac{x}{a}+log_acos^4\frac{x}{a}}+\sqrt{97+log^2_asin\frac{x}{a}-log_asin^8\frac{x}{a}}+\sqrt{20+log^2_atg\frac{x}{a}+log_atg^4\frac{x}{a}}$