Дополнительное вступительное испытание по математике в МГУ, 2016 г.
1. Найдите
если 
Решение: + показать

Ответ:
2. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
равна
. Найдите все возможные значения 
Решение: + показать
3. Решите уравнение 
Решение: + показать
4. Решите неравенство 
Решение: + показать

Используем метод замены множителей:









Ответ:
.
5. Две окружности касаются внутренним образом в точке
Хорда
внешней окружности касается внутренней окружности в точке
Прямая
пересекает внешнюю окружность в точках
и
Найдите
если известно, что
а площадь четырехугольника
равна
а радиусы окружностей относятся как 
Решение: + показать

Пусть
– центры большой и малой окружностей соответственно. Пусть малая окружность пересекается с
в точках
и
соответственно.
Треугольник
подобен треугольнику
(оба треугольника равнобедренные и углы при основании совпадают). Тогда
Аналогично из подобия

Для треугольников
выполняется второй признак подобия треугольников, тогда 
По свойству отрезков касательных
и
Откуда
то есть
Но тогда
– биссектриса треугольника
А учитывая, что
(по условию), приходим к тому, что
то есть
– трапеция. Как известно, если трапеция вписана в трапецию, – она равнобедренная. В нашем случае 
Замечаем, что и
Действительно, во-первых,
и
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Во-вторых,
в силу параллельности
. А также 
Итак,
то есть коэффициент подобия треугольников
–
и 
Но тогда
(
– высота трапеции). Очевидно,
Тогда
откуда
а значит и 
Аналогичную задачу можно посмотреть здесь.
Ответ:
.
6. Ровно в 10:00 из пункта А в пункт Б выехала маршрутка. Проехав треть пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал грузовик. Когда до пункта А оставалась шестая часть пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт А, если известно, что велосипедист прибыл в пункт А ровно в 15:00. Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.
Решение: + показать
7. В основании правильной пирамиды с вершиной
лежит шестиугольник
со сторонкой
Плоскость
параллельна ребру
перпендикулярна плоскости
и пересекает ребро
в точке
так что
Кроме того, прямые, по которым
пересекает плоскость
и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью
от грани 
Решение: + показать

Так как плоскость
имеет общую точку
с плоскостью
и параллельна
то по свойству прямой, параллельной плоскости,
пересекается с
по прямой, параллельной
. Пусть эта прямая пересекает
в точке 
Пусть
– середины
соответственно. Плоскость
перпендикулярна плоскости
так как
содержит перпендикуляр
к плоскости
Линия пересечения указанных плоскостей –
Если в плоскости
к указанной линии провести перпендикуляр, то он будет и перпендикуляром к плоскости
по свойству перпендикулярных плоскостей.
Поскольку по условию прямые, по которым
пересекает плоскость
и плоскость основания, перпендикулярны, то перпендикулярными будут и пара “линия пересечения
с
– проекция прямой пересечения
с
“
Потому строим перпендикуляр
к
или проводим прямую
, параллельно 
Проводя в плоскости
прямую, параллельную высоте
пирамиды до пересечения с
в точке
получаем в итоге прямую
по которой пересекаются плоскости
и 
Пусть
пересекается с
в точке
Пусть
Плоскость
пересечет плоскость
по прямой (
,
), параллельной
Конечно же, точка
лежит на
(середина
).
Заметим, если
– точка пересечения
то
и
лежат на одной прямой.
Аналогично точки
выстраиваем точку
пересечения
с ребром 
Сечение данной пирамиды плоскостью
есть шестиугольник 
Будем искать площадь треугольника
через площадь его проекции
на плоскость основания пирамиды. При этом, очевидно, косинус угла между плоскостями
– косинус угла между плоскостями 
Треугольно
– равносторонний. Треугольник
– прямоугольный, угол
в нем –
следовательно 
Треугольники
подобны.



Треугольник
подобны по двум углам и



При этом 
Тогда
откуда 

Наконец, учитывая, что
получаем, что 
Ответ:
8. Найдите наименьшее значение выражения

и все пары
, при которых оно достигается.
Решение: + показать


Замечаем, что 
Замечаем также, что 
Тогда исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки
до точки
Достигается это расстояние, когда все три точки
лежат на одной прямой, проходящей через точки
.
Тогда

Откуда
(*) и 
Если
то


Но тогда, подставляя последнее равенство в (*), получаем, что 
Итак, несложно посчитать, наименьшее значение исходной суммы есть 
Ответ:
Добавить комментарий