Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение $2cos^2x-2sin2x+1=0.$
a) Решите уравнение.
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi].$
Решение: + показать
a)
$2cos^2x-2sin2x+1=0;$
$2cos^2x-4sinxcosx+sin^2x+cos^2x=0;$
$3cos^2x-4sinxcosx+sin^2x=0;$
Разделим обе части равенства на $cos^2x$, заметив, что $cosx\neq 0:$
$3-4tgx+tg^2x=0;$
$tg^2x-4tgx+3=0;$
$tgx=2\pm 1;$
$tgx=1$ или $tgx=3;$

$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$ или $x=arctg3+\pi k, k\in Z.$
б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2};2\pi]$ при помощи тригонометрического круга:

$\frac{5\pi}{4};arctg3+\pi.$
Ответ:
а) $\frac{\pi}{4}+\pi n$, $arctg3+\pi k, n,k\in Z;$
б) $\frac{5\pi}{4};arctg3+\pi.$
14. В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб с диагоналями $AC=8$ и $BD=6.$
а) Докажите, что прямые $BD_1$ и $AC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $BD_1$ и $AC$, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.
Решение: + показать
a) Проекция $BD$ прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна прямой $AC$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $BD_1\perp AC.$

б) Прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DD_1B_1$, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ($BD$ и $DD_1$). Тогда $AC$ перпендикулярна любой прямой плоскости $DD_1B_1,$ в частности прямой $OH$, что мы построим перпендикулярно $BD_1.$
Итак, $OH$ – расстояние между прямыми $BD_1$ и $AC$.
Из треугольника $OHB$
$sinHBO=\frac{OH}{OB}$,
откуда
$OH=OB\cdot sinHBO.$
При этом, $sin HBO=\frac{DD_1}{BD_1}$ (из треугольника $DD_1B$).
$OH=3\cdot \frac{12}{\sqrt{180}}=\frac{6\sqrt5}{5}.$
Ответ:
б) $\frac{6\sqrt5}{5}$
15. Решите неравенство $log_{9x}27\leq \frac{1}{log_3x}.$
Решение: + показать
$log_{9x}27\leq \frac{1}{log_3x};$
$3log_{9x}3\leq \frac{1}{log_3x};$
$\frac{3}{log_3(9x)}\leq \frac{1}{log_3x};$
$\frac{3}{2+log_3x}\leq \frac{1}{log_3x};$
$\frac{3log_3x-2-log_3x}{log_3x(2+log_3x)}\leq 0;$
$\frac{log_3x-1}{log_3x(2+log_3x)}\leq 0;$
Используем метод замены множителей:
$\frac{log_3x-log_33}{(log_3x-log_31)(log_3x-log_3\frac{1}{9})}\leq 0;$
$\frac{x-3}{(x-1)(x-\frac{1}{9})}\leq 0, x>0;$

$x\in (0;\frac{1}{9})\cup(1;3].$
Ответ: $(0;\frac{1}{9})\cup(1;3].$
16. К двум окружностям с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $6$ и $3$ проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть $A$ и $B$ – точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника $O_1AO_2B$ можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что $O_1O_2=15$.
Решение: + показать
a) Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$.
Докажем, что углы $O_1AO_2,O_1BO_2$ – прямые. Этого будет достаточно.

Очевидно, $AO_1,$ $AO_2$ – биссектрисы смежных углов при вершине $A$ с общей стороной $K_1K_2$ (где $K_1,K_2$ – точки касания внутренней касательной с окружностями). А как известно, угол между биссектрисами смежных углов равен $90^{\circ}.$ Итак, угол $O_1AO_2$ – прямой.
Аналогично показывается, что угол $O_1BO_2$ – прямой.
Итак, около четырехугольника $O_1AO_2B$ можно описать окружность, так как суммы противоположных углов равны $180^{\circ}.$
Что и требовалось доказать.
б) Найдем $K_1K_2$ – расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной.
Проведя из точки $O_2$ к продолжению $O_1K_1$ перпендикуляр $O_2N$, заметим, что $K_1K_2O_2N$ – прямоугольник, в частности $O_2N=K_1K_2$.
Задача сводится к нахождению $O_2N$.
Замечаем также, что $NK_1=O_2K=3$ и $O_1N=9.$

По теореме Пифагора из треугольника $O_1O_2N:$
$O_2N=\sqrt{O_1O_2^2-O_1N^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12.$
Ответ: б) 12.
17. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?
Решение: + показать
Расстояние до перекрестка через время $t$ одного велосипедиста – $(5-40t)$ км, второго – $(3-30t)$ км.

Расстояние между велосипедистами выражается как
$\sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}$.
Будем исследовать функцию $f(t)=(5-40t)^2+(3-30t)^2$ на наименьшее значение. Нас будет интересовать также значение $t$, при котором достигается это наименьшее значение.
Так как $f(t)=2500t^2-580t+34$ с графической точки зрения – парабола с ветвями вверх, то наименьшее значение $f(t)$ достигает в вершине параболы. Абсцисса вершины – $\frac{580}{2\cdot 2500}$. Ордината – $0,36$.
Итак, расстояние между велосипедистами станет наименьшим (а именно $\sqrt{0,36}$ или $0,6$ км) через $\frac{58}{500}$ часов или $6,96$ минут.
Ответ: $6,96$ минут; $0,6$ км.
18. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}\frac{x^2+y^2+8x-6y+21}{\sqrt{y-x-5}}=0,\\y=a(x-1)+3;&\end{cases}$
имеет ровно одно решение.
Решение: + показать
$\begin{cases}\frac{(x^2+8x+16)+(y^2-6y+9)-4}{\sqrt{y-x-5}}=0,\\y=a(x-1)+3;&\end{cases}$
$\begin{cases}(x+4)^2+(y-3)^2=4,\\y>x+5,\\y=a(x-1)+3;&\end{cases}$
Первая строка системы задает окружность с центром в точке $(-4;3)$, радиусом $2$.
Вторая строка системы – полуплоскость над прямой $y=x+5$ (не включая границу).
Первая и вторая строки системы вместе дают дугу окружности $AB$ большую – см. рис.
Третья строка системы – семейство прямых, проходящих через точку $(1;3)$.

Единственное решение исходная система будет иметь в следующих двух случаях:
а) При касании прямой $y=a(x-1)+3$ и дуги $AB$ большой.
б) При прохождении прямой $y=a(x-1)+3$ через дугу $AB$ малую, включая точку $B$.

Для первого случая требуем:
$D=0$ для $(x+4)^2+(a(x-1)+3-3)^2=4$
(берем отрицательное значение $a$).
$x^2+8x+16+a^2x^2-2a^2x+a^2-4=0;$
$(1+a^2)x^2+(8-2a^2)x+12+a^2=0;$
$D=(8-2a^2)^2-4(1+a^2)(12+a^2)=$
$=64-32a^2+4a^4-48-52a^2-4a^4=16-84a^2;$
$D=0$ при $a=\pm \frac{2\sqrt{21}}{21}.$
Итак, в первом случае $a=-\frac{2\sqrt{21}}{21}.$
Во втором случае нам понадобятся координаты точек $A$ и $B$.
Для нахождения их координат прежде решим уравнение:
$(x+4)^2+(x+5-3)^2=4;$
$(x+4)^2+(x+2)^2=4;$
$x^2+6x+8=0;$
$x=-3\pm 1;$
$x=-4$ или $x=-2.$
Тогда $A(-4;1)$ и $B(-2;3)$.
Теперь мы можем найти $a$, отвечающее за прохождение прямой $y=a(x-1)+3$ через точки $A$ и $B$.
Подставляя координаты точек $A$ и $B$ в $y=a(x-1)+3$, получим:
$a=\frac{2}{5}$ для точки $A$ и $a=0$ для точки $B$.
Стало быть, в данном случае $a\in [0;\frac{2}{5}).$
Ответ: {$-\frac{2\sqrt{21}}{21}$}$\cup [0;\frac{2}{5}).$
В 17 задании время неправильное. Должно быть 6,96.
Конечно, спасибо. Запятая убежала… Не 69,6, а 6,96! Исправлено.
В 14 задании ошибка в самом последнем вычислении. 3х12/(6корней из 5) и это равно 36/(6корней из 5). и в итоге 6/(корень из 5). у вас опечатка
Людмила, не вижу ошибки.
[latexpage]$\frac{36}{\sqrt{180}}=\frac{36}{6\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}=\frac{6\sqrt5}{5}.$
Все верно.
$\frac{6}{\sqrt5}$ и $\frac{6\sqrt5}{5}$ – одно и тоже.
Здравствуйте! Объясните пожалуйста, почему в задаче 18 после слов “во втором случае нам…” предлагается решить именно это уравнение для нахождение координат точек? Не ясно откуда взялось такое равество
Точки А и В – точки пересечения прямой y=x+5 и окружности. Подставили y в уравнение окружности.