Задание №13 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

13. Дано уравнение $\large log_2sinx\cdot log_{sinx}cos^2x=-1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi; \frac{11\pi}{2}]$.

Решение: 

а) 

$\large log_2sinx\cdot log_{sinx}cos^2x=-1.$

Согласно свойству логарифмов $\color{red}log_{a}c\cdot log_{c}b=log_{a}b,$ имеем:

$\begin{cases}log_2cos^2x=-1,\\sinx>0,\\sinx\neq 1;&\end{cases}$
$\begin{cases}cos^2x=\frac{1}{2},\\sinx>0,\\sinx\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}cosx=\pm \frac{\sqrt2}{2},\\sinx>0;&\end{cases}$

$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$  $n\in Z.$

б) Корни уравнения из отрезка $[4\pi; \frac{11\pi}{2}]:$

$\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}.$

Ответ: 

а) $\frac{\pi}{4}+2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z;$

б) $\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4}.$