Главная › 12 (С1) Уравнения › С1 (№15). Иррациональное уравнение с тригонометрическими функциями

11 Фев 2014

Категория: 12 (С1) УравненияТ/P A. ЛаринаТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

С1 (№15). Иррациональное уравнение с тригонометрическими функциями

Елена Репина 2014-02-11 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №13»

Смотрите также С2(№16), С4(№18), С5(№20) тренировочной работы №63 А. Ларина.

Возможно, вам стоит вспомнить/изучить как осуществляются равносильные переходы в иррациональных уравнениях.

а) Решите уравнение $\sqrt{5sinx+cos2x}+2cosx=0;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$ .

Решение:

а) Перепишем уравнение следующим образом:

$\sqrt{5sinx+cos2x}=-2cosx;$

Заметим, $-2cosx\geq 0.$

Переходим к равносильной системе уравнений:

$\begin{cases} 5sinx+cos2x=4cos^2x,& &-2cosx\geq 0; \end{cases}$

Обратите внимание, нет необходимости указывать в системе неравенство $5sinx+cos2x\geq 0$ .

Раз $5sinx+cos2x$ есть $4cos^2x$ , а $cos^2x\geq 0$ , то получается, – все уже оговорено.

Применяем к $cos2x$ формулу двойного угла

$cos2x=1-2sin^2x$ .

Также используем для правой части уравнения основное тригонометрическое тождество:

$sin^2x+cos^2x=1$ .

Получаем

$\begin{cases} 5sinx+1-2sin^2x=4(1-sin^2x),& &-2cosx\geq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} 2sin^2x+5sinx-3=0,& &cosx\leq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} sinx=-3, &sinx=\frac{1}{2}; \end{gathered}\right& &cosx\leq 0;& \end{cases}&$

$\begin{cases} sinx=\frac{1}{2};& &cosx\leq 0; \end{cases}&$

Нас устраивает только серия корней $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$ :

В данный отрезок попадает один корень – это $-\frac{7\pi}{6}.$

Ответ: a) $\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z$ ; б) $-\frac{7\pi }{6}.$

___________________________________________________________

Полезно порешать

а) Решите уравнение $\sqrt{1-2cos^2x}=cosx+sinx;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$ .

Ответ: + показать

Если у вас возникли вопросы, – пожалуйста, пишите в комментариях!

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Дарья

2014-04-01 в 16:19

а) п/2 + пn, n э Z
не нужна 2, ОДЗ:cos x+sin x >= 0

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-04-01 в 21:41
  
  Дарья, вы имеете ввиду ответ к задаче для с/р?
  Не могу согласиться. Корень 3pi/2+2pin, о котором вы говорите, посторонний. Подставьте, справа получите -1.
  
  [ Ответить ]
  - Алексей
    
    2014-05-27 в 16:27
    
    Я сам попался здесь, если решать через тангенс теряется корень сosx=0;так как он в знаменателе, но он тоже учитывается п/2 + пn,nэZ
    
    [ Ответить ]
Настя

2014-06-03 в 02:42

Поясните, пожалуйста, как определять корень на промежутке ? (задание под б)), как получаются новые числа/выражения, как это всё просчитывается??

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-06-03 в 23:02
  
  Загляните, например, сюда. Может, что-то прояснится для вас…
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы