С1 (№15). Иррациональное уравнение с тригонометрическими функциями

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №13»

Смотрите также С2(№16), С4(№18), С5(№20) тренировочной работы №63 А. Ларина.

Возможно, вам стоит вспомнить/изучить как осуществляются равносильные переходы в иррациональных уравнениях.

а) Решите уравнение \sqrt{5sinx+cos2x}+2cosx=0;
б) Найдите все корни на промежутке [-2\pi;-\frac{\pi}{2}].

Решение:

а) Перепишем уравнение следующим образом:

\sqrt{5sinx+cos2x}=-2cosx;

Заметим, -2cosx\geq 0.

Переходим к равносильной системе уравнений:

\begin{cases} 5sinx+cos2x=4cos^2x,& &-2cosx\geq 0; \end{cases}

Обратите внимание, нет необходимости указывать в системе неравенство 5sinx+cos2x\geq 0.

Раз 5sinx+cos2x есть 4cos^2x, а cos^2x\geq 0, то получается, – все уже оговорено.

Применяем  к cos2x формулу двойного угла

cos2x=1-2sin^2x.

Также используем для правой части уравнения основное тригонометрическое тождество:

sin^2x+cos^2x=1.

Получаем

\begin{cases} 5sinx+1-2sin^2x=4(1-sin^2x),& &-2cosx\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} 2sin^2x+5sinx-3=0,& &cosx\leq 0; \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} sinx=-3, &sinx=\frac{1}{2}; \end{gathered}\right& &cosx\leq 0;& \end{cases}&

\begin{cases} sinx=\frac{1}{2};& &cosx\leq 0; \end{cases}&

Нас устраивает только серия корней x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z.

б) Произведем отбор корней из отрезка [-2\pi;-\frac{\pi}{2}]:

В данный отрезок попадает один корень – это -\frac{7\pi}{6}.

Ответ: a) \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z; б) -\frac{7\pi }{6}.

___________________________________________________________

Полезно порешать

а) Решите уравнение \sqrt{1-2cos^2x}=cosx+sinx;
б) Найдите все корни на промежутке [-2\pi;-\frac{\pi}{2}].

Ответ: + показать

Если у вас возникли вопросы, – пожалуйста, пишите в комментариях!

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Дарья

    а) п/2 + пn, n э Z
    не нужна 2, ОДЗ:cos x+sin x >= 0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дарья, вы имеете ввиду ответ к задаче для с/р?
      Не могу согласиться. Корень 3pi/2+2pin, о котором вы говорите, посторонний. Подставьте, справа получите -1.

      [ Ответить ]
      • Алексей

        Я сам попался здесь, если решать через тангенс теряется корень сosx=0;так как он в знаменателе, но он тоже учитывается п/2 + пn,nэZ

        [ Ответить ]
  2. Настя

    Поясните, пожалуйста, как определять корень на промежутке ? (задание под б)), как получаются новые числа/выражения, как это всё просчитывается??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Загляните, например, сюда. Может, что-то прояснится для вас…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif