С1 (№15). Иррациональное уравнение с тригонометрическими функциями

2023-07-23

Смотрите также С2(№16), С4(№18), С5(№20) тренировочной работы №63 А. Ларина.

Возможно, вам стоит вспомнить/изучить как осуществляются равносильные переходы в иррациональных уравнениях.

а) Решите уравнение $\sqrt{5sinx+cos2x}+2cosx=0;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.

Решение:

а) Перепишем уравнение следующим образом:

$\sqrt{5sinx+cos2x}=-2cosx;$

Заметим, $-2cosx\geq 0.$

Переходим к равносильной системе уравнений:

$\begin{cases}5sinx+cos2x=4cos^2x,\\-2cosx\geq 0;&\end{cases}$

Обратите внимание, нет необходимости указывать в системе неравенство $5sinx+cos2x\geq 0$.

Раз $5sinx+cos2x$ есть $4cos^2x$, а $cos^2x\geq 0$, то получается, – все уже оговорено.

Применяем  к $cos2x$ формулу двойного угла

$\color{red}cos2x=1-2sin^2x$.

Также используем для правой части уравнения основное тригонометрическое тождество:

$\color{red}sin^2x+cos^2x=1$.

Получаем

$\begin{cases}5sinx+1-2sin^2x=4(1-sin^2x),\\-2cosx\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2sin^2x+5sinx-3=0,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=-3,\\sinx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx=\frac{1}{2};\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

97

Нас устраивает только серия корней $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$:

7е

В данный отрезок попадает один корень – это $-\frac{7\pi}{6}.$

Ответ: a) $\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z$; б) $-\frac{7\pi }{6}.$

___________________________________________________________

Полезно порешать

а) Решите уравнение $\sqrt{1-2cos^2x}=cosx+sinx;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: + показать

Если у вас возникли вопросы, – пожалуйста, пишите в комментариях!

Печать страницы
комментариев 5
  1. Дарья

    а) п/2 + пn, n э Z
    не нужна 2, ОДЗ:cos x+sin x >= 0

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дарья, вы имеете ввиду ответ к задаче для с/р?
      Не могу согласиться. Корень 3pi/2+2pin, о котором вы говорите, посторонний. Подставьте, справа получите -1.

      [ Ответить ]
      • Алексей

        Я сам попался здесь, если решать через тангенс теряется корень сosx=0;так как он в знаменателе, но он тоже учитывается п/2 + пn,nэZ

        [ Ответить ]
  2. Настя

    Поясните, пожалуйста, как определять корень на промежутке ? (задание под б)), как получаются новые числа/выражения, как это всё просчитывается??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Загляните, например, сюда. Может, что-то прояснится для вас…

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




четырнадцать + один =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif