Задание №14 Т/Р №171 А. Ларина

 Смотрите также  №13; №15; №16; №17; №18; №19  Тренировочной работы №171 А. Ларина

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$

отмечена точка $M$ так, что $CM:C_1M=1:3$. Плоскость $AEM$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $BK:B_1K=1:5$.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $AEM$, если $AB=3,CC_1=8$.

Решение:

а) Пусть прямая $AE$ пересекается с прямой $BC$ в точке $T,$ с прямой $CD$ – в точке $Q.$

Пусть прямая $TM$ плоскости $BB_1C_1$ пересекается с ребром $BB_1$ в точке $K$, прямая $MQ$ плоскости $DD_1C_1$ пересекается с ребром $DD_1$ в точке $N.$

Пятиугольник $AKMNE$ – сечение призмы плоскостью $AEM.$

Покажем, что $BK:B_1K=1:5.$

В равнобедренном треугольнике $TCQ$ – угол $T$ равен $30^{\circ}$. Тогда в прямоугольном  треугольнике $ABT$ ($AE\perp AB$, так как вписанный угол $A$ в окружность, описанную около шестиугольника $ABCDEF$, опирается на диаметр $BE$) с углом в $30^{\circ}$ выполняется: $TB=2AB.$

Пусть $L$ – середина $AE.$ Треугольники $TCL,TBA$ подобны по двум углам и $k=\frac{TB}{TC}=\frac{2AB}{3AB}=\frac{2}{3}.$  Тогда и коэффициент подобия треугольников $TKB,TMC$ – $\frac{2}{3}.$ Стало быть, $KB=\frac{2MC}{3}=\frac{2\frac{CC_1}{4}}{3}=\frac{CC_1}{6},$ то есть $BK:B_1K=1:5$

Что и требовалось доказать.

б)  Площадь сечения будем искать, пользуясь формулой

$\large\color{red}S_{sechenie}=\frac{S_{proeksia}}{cos\alpha}$,

где $\alpha$ – угол между плоскостями сечения и основания.

 В нашем случае

$\large S_{AKMNE}=\frac{S_{ABCDE}}{Cos\angle MLC};$

$\large S_{AKMNE}=\frac{\frac{5}{6}\cdot S_{ABCDEF}}{\frac{LC}{LM}};$

$\large S_{AKMNE}=\frac{\frac{5\cdot 6\cdot \frac{9\sqrt3}{4}}{6}}{\frac{4,5}{\sqrt{2^2+4,5^2}}};$

$\large S_{AKMNE}=\frac{5\sqrt{291}}{4}.$

Ответ: б) $\frac{5\sqrt{291}}{4}.$