Задание №14 Т/Р №171 А. Ларина

Елена Репина 2016-11-17 2016-11-15

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$

отмечена точка $M$ так, что $CM:C_1M=1:3$ . Плоскость $AEM$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $BK:B_1K=1:5$ .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $AEM$ , если $AB=3,CC_1=8$ .

Решение:

а) Пусть прямая $AE$ пересекается с прямой $BC$ в точке $T,$ с прямой $CD$ – в точке $Q.$

Пусть прямая $TM$ плоскости $BB_1C_1$ пересекается с ребром $BB_1$ в точке $K$ , прямая $MQ$ плоскости $DD_1C_1$ пересекается с ребром $DD_1$ в точке $N.$

Пятиугольник $AKMNE$ – сечение призмы плоскостью $AEM.$

Покажем, что $BK:B_1K=1:5.$

98нро

В равнобедренном треугольнике $TCQ$ – угол $T$ равен $30^{\circ}$ . Тогда в прямоугольном треугольнике $ABT$ ( $AE\perp AB$ , так как вписанный угол $A$ в окружность, описанную около шестиугольника $ABCDEF$ , опирается на диаметр $BE$ ) с углом в $30^{\circ}$ выполняется: $TB=2AB.$

Пусть $L$ – середина $AE.$ Треугольники $TCL,TBA$ подобны по двум углам и $k=\frac{TB}{TC}=\frac{2AB}{3AB}=\frac{2}{3}.$ Тогда и коэффициент подобия треугольников $TKB,TMC$ – $\frac{2}{3}.$ Стало быть, $KB=\frac{2MC}{3}=\frac{2\frac{CC_1}{4}}{3}=\frac{CC_1}{6},$ то есть $BK:B_1K=1:5$