Задание №14 Т/Р №171 А. Ларина

2016-11-15

 Смотрите также  №13№15№16№17№18; №19  Тренировочной работы №171 А. Ларина

14. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 на ребре CC_1

отмечена точка M так, что CM:C_1M=1:3. Плоскость AEM пересекает ребро BB_1 в точке K.

а) Докажите, что BK:B_1K=1:5.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью AEM, если AB=3,CC_1=8.

Решение:

а) Пусть прямая AE пересекается с прямой BC в точке T, с прямой CD – в точке Q.

Пусть прямая TM плоскости BB_1C_1 пересекается с ребром BB_1 в точке K, прямая MQ плоскости DD_1C_1 пересекается с ребром DD_1 в точке N.

Пятиугольник AKMNE – сечение призмы плоскостью AEM.

Покажем, что BK:B_1K=1:5.

В равнобедренном треугольнике TCQ – угол T равен 30^{\circ}. Тогда в прямоугольном  треугольнике ABT (AE\perp AB, так как вписанный угол A в окружность, описанную около шестиугольника ABCDEF, опирается на диаметр BE) с углом в 30^{\circ} выполняется: TB=2AB.

Пусть L – середина AE. Треугольники TCL,TBA подобны по двум углам и k=\frac{TB}{TC}=\frac{2AB}{3AB}=\frac{2}{3}.  Тогда и коэффициент подобия треугольников TKB,TMC\frac{2}{3}. Стало быть, KB=\frac{2MC}{3}=\frac{2\frac{CC_1}{4}}{3}=\frac{CC_1}{6}, то есть BK:B_1K=1:5

Что и требовалось доказать.

б)  Площадь сечения будем искать, пользуясь формулой

S_{sechenie}=\frac{S_{proeksia}}{cos\alpha},

где \alpha – угол между плоскостями сечения и основания.

 В нашем случае

S_{AKMNE}=\frac{S_{ABCDE}}{Cos\angle MLC};

S_{AKMNE}=\frac{\frac{5}{6}\cdot S_{ABCDEF}}{\frac{LC}{LM}};

S_{AKMNE}=\frac{\frac{5\cdot 6\cdot \frac{9\sqrt3}{4}}{6}}{\frac{4,5}{\sqrt{2^2+4,5^2}}};

S_{AKMNE}=\frac{5\sqrt{291}}{4}.

Ответ: б) \frac{5\sqrt{291}}{4}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif