Задание №18 Т/Р №171 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$4sin^2x-4asinx+a^3-a^2=0$

имеет ровно один корень на промежутке $[-\frac{\pi}{2};2\pi].$

Решение:

$4sin^2x-4asinx+a^3-a^2=0;$

$\large sinx=\frac{4a\pm \sqrt{16a^2-16a^3+16a^2}}{8};$

$\large sinx=\frac{a\pm |a|\sqrt{2-a}}{2};$

$\large sinx=\frac{a(1\pm \sqrt{2-a})}{2}.$

Один корень в исходном уравнении на промежутке $[-\frac{\pi}{2};2\pi]$  возможен в случаях:

а) $\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1$

б) $|\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}|>1$ (*)   и   $\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1$ (**)

в) $|\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}|>1$ (***)   и   $\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=1$ (****)

Рассмотрим по отдельности указанные случаи.

а) $a=2.$

б) Решим (**):

$\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1;$

$\sqrt{2-a}=1-\frac{2}{a};$

$2-a=1-\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2},1-\frac{2}{a}\geq 0;$

$a^2-a^3+4a-4=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;$

$a^2(1-a)-4(1-a)=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;$

$(a-1)(a-2)(a+2)=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;$

$a=\pm 2.$

При этом $a=2$ не удовлетворяет (*), $a=-2$ – удовлетворяет (*).

в) Решим (****):

$\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=1;$

$\sqrt{2-a}=\frac{2}{a}-1;$

$2-a=1-\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2},\frac{2}{a}-1\geq 0;$

$(a-1)(a-2)(a+2)=0,\frac{2-a}{a}\geq 0;$

$a=1$ или $a=2.$

При этом $a=1, a=2$ не удовлетворяют  (***).

Итак, только при $a=\pm 2$ исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке $[-\frac{\pi}{2};2\pi].$

Ответ: $\pm 2.$