Задание №18 Т/Р №171 А. Ларина

2016-11-15

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №171 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

4sin^2x-4asinx+a^3-a^2=0

имеет ровно один корень на промежутке [-\frac{\pi}{2};2\pi].

Решение:

4sin^2x-4asinx+a^3-a^2=0;

sinx=\frac{4a\pm \sqrt{16a^2-16a^3+16a^2}}{8};

sinx=\frac{a\pm |a|\sqrt{2-a}}{2};

sinx=\frac{a(1\pm \sqrt{2-a})}{2}.

Один корень в исходном уравнении на промежутке [-\frac{\pi}{2};2\pi]  возможен в случаях:

а) \frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1

б) |\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}|>1 (*)   и   \frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1 (**)

в) |\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}|>1 (***)   и   \frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=1 (****)

Рассмотрим по отдельности указанные случаи.

а) a=2.

б) Решим (**):

\frac{a(1-\sqrt{2-a})}{2}=1;

\sqrt{2-a}=1-\frac{2}{a};

2-a=1-\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2},1-\frac{2}{a}\geq 0;

a^2-a^3+4a-4=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;

a^2(1-a)-4(1-a)=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;

(a-1)(a-2)(a+2)=0,\frac{a-2}{a}\geq 0;

a=\pm 2.

При этом a=2 не удовлетворяет (*), a=-2 – удовлетворяет (*).

в) Решим (****):

\frac{a(1+\sqrt{2-a})}{2}=1;

\sqrt{2-a}=\frac{2}{a}-1;

2-a=1-\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2},\frac{2}{a}-1\geq 0;

(a-1)(a-2)(a+2)=0,\frac{2-a}{a}\geq 0;

a=1 или a=2.

При этом a=1, a=2 не удовлетворяют  (***).

Итак, только при a=\pm 2 исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке [-\frac{\pi}{2};2\pi].

Ответ: \pm 2.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif