Ну очень красивое задание С2 (№16) ЕГЭ по математике!

Гиблое дело – начинать решение задачи с построения сечения.

Давайте сначала обратимся к основанию пирамиды – . Нас будет интересовать положение прямой,  проходящей через  точку пересечения медиан и центр окружности, вписанной в этот треугольник.

Найдем прежде сторону треугольника :

По теореме синусов  , где – радиус описанной окружности.

То есть

Стало быть,

Известно, что Так как по условию угол В – тупой, то

Теперь воспользуемся теоремой косинусов:

откуда то есть

 Найдем площадь треугольника :

Воспользуемся формулой Герона.

где стороны треугольника .

 Найдем радиус вписанной окружности по формуле

Скоро увидим, зачем он нам вообще нужен.

 Теперь вводим в игру точку пересечения медиан.

Пусть медианы пересекаются в точке .

Пусть – основание перпендикуляра из точки на продолжение стороны треугольника .

– медиана.

Проведем отрезок параллельно прямой , .

Очевидно, треугольники и  подобны по двум углам. И коэффициент подобия треугольников – (ведь по свойству медиан).

Тогда и соответствующие высоты треугольников также находятся в отношении , то есть , откуда   ( – основание перпендикуляра из т. на )

Найдем длину :

Тогда

Вот оно! Вы заметили, что ?

Что это для нас означает?

Точки и одинаково удалены от стороны , то есть (заметим, совпасть точки и не могут, иначе медиана совпала бы с биссектрисой угла (ведь – точка пересечения биссектрис треугольника ), но треугольник   у нас не равнобедренный).

Ну, вот, теперь можно смело переходить к построению заданного сечения пирамиды.

Нам предстоит найти площадь сечения .

Треугольники  и подобны с коэффициентом , следовательно

Проведем  перпендикуляр к . Тогда по теореме о трех перпендикулярах То есть – высота треугольника к продолжению стороны . Как только мы ее вычислим, площадь сечения будет найдена.

Из треугольника по теореме Пифагора

Наконец,

Ответ: