В пирамиде $SABC$ ребра $SC$, $BC$ и $AC$ равны соответственно $\frac{\sqrt{93}}{6}$, $3$ и $4$. Известно, что угол $ABC$ тупой, ребро $SC$ перпендикулярно к плоскости основания $ABC$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ равен $\frac{8}{\sqrt{15}}$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$, точку пересечения медиан треугольника $ABC$ и центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение: + показать
Гиблое дело – начинать решение задачи с построения сечения.
Давайте сначала обратимся к основанию пирамиды – $ABC$. Нас будет интересовать положение прямой, проходящей через точку пересечения медиан и центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Найдем прежде сторону $AB$ треугольника $ABC$:
По теореме синусов $\frac{AC}{sinB}=2R$, где $R$ – радиус описанной окружности.
То есть $\frac{4}{sinB}=\frac{16}{\sqrt{15}}.$
Стало быть, $sinB=\frac{\sqrt{15}}{4}.$
Известно, что $cosB=\pm \sqrt{1-sin^2B}.$ Так как по условию угол В – тупой, то $cosB=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}.$
Теперь воспользуемся теоремой косинусов:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cosB;$
$4^2=AB^2+3^2+2AB\cdot 3\cdot \frac{1}{4};$
$7=AB^2+\frac{3AB}{2};$
$2AB^2+3AB-14=0;$
откуда $AB=\frac{-3+ 11}{4},$ то есть $AB=2.$
Найдем площадь треугольника $ABC$:
Воспользуемся формулой Герона.
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ где $p=\frac{a+b+c}{2},\; a,\;b,\;c – $ стороны треугольника $ABC$.
$S=\sqrt{\frac{9}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}}=\frac{3\sqrt{15}}{4}.$
Найдем радиус вписанной окружности по формуле $r=\frac{S}{p}.$
$r=\frac{\frac{3\sqrt{15}}{4}}{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{6}.$
Скоро увидим, зачем он нам вообще нужен.
Теперь вводим в игру точку пересечения медиан.
Пусть медианы пересекаются в точке $M$.
Пусть $H$ – основание перпендикуляра из точки $A$ на продолжение стороны $BC$ треугольника $ABC$.
$AQ$ – медиана.
Проведем отрезок $ML$ параллельно прямой $CB$, $L\in [AH]$.
Очевидно, треугольники $AML$ и $AQH$ подобны по двум углам. И коэффициент подобия треугольников – $\frac{2}{3}$ (ведь $AM:MQ=2:1$ по свойству медиан).
Тогда и соответствующие высоты треугольников также находятся в отношении $2:3$, то есть $AL:AH=2:3$, откуда $AH:MN=2:1$ ($N$ – основание перпендикуляра из т.$M$ на $BC.$)
Найдем длину $MN$:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC;$
$\frac{3\sqrt{15}}{4}=\frac{3\cdot AH}{2};$
$AH=\frac{\sqrt{15}}{2}.$
Тогда $MN=\frac{1}{3}AH=\frac{\sqrt{15}}{6}.$
Вот оно! Вы заметили, что $MN=r$?
Что это для нас означает?
Точки $M$ и $O$ одинаково удалены от стороны $BC$, то есть $MO\parallel BC$ (заметим, совпасть точки $O$ и $M$ не могут, иначе медиана $AQ$ совпала бы с биссектрисой угла $A$ (ведь $O$ – точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$), но треугольник $ABC$ у нас не равнобедренный).
Ну, вот, теперь можно смело переходить к построению заданного сечения пирамиды.
Нам предстоит найти площадь сечения $SVE$.
Треугольники $AVE$ и $ACB$ подобны с коэффициентом $\frac{2}{3}$, следовательно
$VE=\frac{2}{3}BC=2.$
Проведем перпендикуляр $CX$ к $VE$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах $SX\perp XE.$ То есть $SX$ – высота треугольника $SVE$ к продолжению стороны $VE$. Как только мы ее вычислим, площадь сечения будет найдена.
Из треугольника $SXC$ по теореме Пифагора $SX=\sqrt{SC^2+CX^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{93}}{6})^2+(\frac{\sqrt{15}}{6})^2}=\sqrt3.$
Наконец, $S_{SVE}=\frac{1}{2}VE\cdot SX=\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot 2=\sqrt3.$
Ответ: $\sqrt3.$
здесь в условии задачи написано:В пирамиде SABC ребра SC, BC и ??? и какое еще?
Да, не пропечаталось ребро AC. Подправила. Спасибо!
А почему решение не показывается?
Как не показывается? Нажимаем на зеленую ссылочку «показать»
Не знаю, чем оно красиво. На ЕГЭ для такого решения нет времени, кто только придумывает этот ужас. Те, кто не сдает, конечно, могут изощряться с решением сколько душе угодно, а у нас все ограничено и до такого просто-напросто некогда додумываться
На вкус и цвет товарищей нет… И, потом, – тяжело в ученье – легко в бою…