Треугольник

2023-08-06
Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников:+ показать

Свойства

+ показать

Признаки равенства треугольников

+ показать

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей  стороне и равна ее половине.

iu

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

$\color{red}r=\frac{S}{p}$

Снимок экрана 2013-07-29 в 19.07.59

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

$\color{red}R=\frac{abc}{4S}$

д

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: $\color{red}a^2=b^2+c^2-2bcCos\alpha$

f

Теорема синусов: $\color{red}\frac{a}{Sin\alpha}=\frac{b}{Sin\beta}=\frac{c}{Sin\gamma}=2R$

d

Площадь треугольника

lkЧерез сторону и высоту

$\color{red}S=\frac{1}{2}ah_a$

Через две стороны и угол между ними

$\color{red}S=\frac{1}{2}bcSin\alpha$

Через радиус описанной окружности

$\color{red}S=\frac{abc}{4R}$

Через радиус вписанной окружности

$\color{red}S=pr$, где $\color{red}p$ – полупериметр

Формула Герона

$\color{red}S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $\color{red}p$ – полупериметр


внимание

Смотрите также площадь треугольника здесь.

И будет полезна  таблица формул для треугольника.

Печать страницы
комментариев 13
  1. Анатолий Шевелев

    Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
    А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анатолий, спасибо!
      В разделе “свойства” ошибок не нашла…
      В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
      В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
      К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
      Благодарю еще раз!

      [ Ответить ]
  2. Анатолий Шевелев

    В разделе свойства: [latexpage]$\angle BCD=\abgle A+\angle B$

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, не хватало значка [latexpage]«$\angle$» у А. Спасибо! ;)

      [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
    Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]Подозреваю, у вас опечатка в условии…
      Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении $6:7:23$, то выходим на уравнение $6x+7x+23x=360^{\circ}.$ Откуда $x=10^{\circ}.$ Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть $\frac{6x}{2}=30^{\circ}.$
      Применяем теорему синусов: $2R=\frac{11}{sin30^{\circ}}$, откуда $R=11.$

      [ Ответить ]
  4. Ильяс

    спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
    СПАСИБО!

    [ Ответить ]
  5. Анна

    Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
    Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage] Очевидно, $AK=AM=2,MC=LC=3.$
      Примите $KB,BL$ за $x$.
      Примените к треугольнику $ABC$ теорему косинусов:
      $(x+2)^2=5^2+(3+x)^2-2\cdot 5\cdot (3+x)\cdot \frac{1}{2}.$
      Найдете $x$, далее можно найти угол $B$ и из треугольника $BKL$ найти $KL.$

      [ Ответить ]
  6. Виктория

    Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виктория, спасибо!

      [ Ответить ]
  7. алиса

    Доказать равенство треугольников АВС и А1В1С1
    Дано: сторона АВ равна А1В1, угол ВАС= углу В1А1С1
    ВС+АС=В1С1+А1С1

    [ Ответить ]
  8. Воал

    2023

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




4 × два =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif