Треугольник

2014-01-07

Треугольник произвольный

 

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников:+ показать

 Свойства 

+ показать

Признаки равенства треугольников

+ показать

Биссектриса, высота, медиана

 

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей  стороне и равна ее половине.

 

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

r=\frac{S}{p}

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

R=\frac{abc}{4S}

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

 

Теорема косинусов: a^2=b^2+c^2-2bcCos\alpha

Теорема синусов: \frac{a}{Sin\alpha}=\frac{b}{Sin\beta}=\frac{c}{Sin\gamma}=2R

Площадь треугольника

 

Через сторону и высоту

S=\frac{1}{2}ah_a

Через две стороны и угол между ними

S=\frac{1}{2}bcSin\alpha

Через радиус описанной окружности

S=\frac{abc}{4R}

Через радиус вписанной окружности

S=pr, где p – полупериметр

Формула Герона

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p – полупериметр

 

Смотрите также площадь треугольника здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника.

 

Печать страницы
Комментариев: 12
  1. Анатолий Шевелев

    Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
    А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен ;)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анатолий, спасибо!
      В разделе “свойства” ошибок не нашла…
      В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
      В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
      К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
      Благодарю еще раз!

      [ Ответить ]
  2. Анатолий Шевелев

    В разделе свойства: \angle BCD=\abgle A+\angle B

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, не хватало значка «\angle» у А. Спасибо! ;)

      [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
    Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Подозреваю, у вас опечатка в условии…
      Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении 6:7:23, то выходим на уравнение 6x+7x+23x=360^{\circ}. Откуда x=10^{\circ}. Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть \frac{6x}{2}=30^{\circ}.
      Применяем теорему синусов: 2R=\frac{11}{sin30^{\circ}}, откуда R=11.

      [ Ответить ]
  4. Ильяс

    спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
    СПАСИБО!

    [ Ответить ]
  5. Анна

    Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
    Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Очевидно, AK=AM=2,MC=LC=3.
      Примите KB,BL за x.
      Примените к треугольнику ABC теорему косинусов:
      (x+2)^2=5^2+(3+x)^2-2\cdot 5\cdot (3+x)\cdot \frac{1}{2}.
      Найдете x, далее можно найти угол B и из треугольника BKL найти KL.

      [ Ответить ]
  6. Виктория

    Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виктория, спасибо!

      [ Ответить ]
  7. алиса

    Доказать равенство треугольников АВС и А1В1С1
    Дано: сторона АВ равна А1В1, угол ВАС= углу В1А1С1
    ВС+АС=В1С1+А1С1

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif