Задание №14 Т/Р №173 А. Ларина

Смотрите также  №13; №15; №16; №17; №18  Тренировочной работы №173 А. Ларина

14. В основании приямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точка $K$ – середина ребра $BB_1$. Плоскость $\alpha $ проходит через середины ребер $AB$ и $BB_1$ параллельно прямой $B_1D$.
А) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha $ является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость $\alpha $, если известно, что $BC=7,AD=25,AB=15,BB_1=8.$

Решение:

a) Плоскость $\alpha $ имеет общую точку $K$ с плоскостью $BB_1D,$ значит пересечет ее по прямой (назовем ее $KP,P\in BD$), параллельной $B_1D,$ раз по условию $B_1D$ параллельна $\alpha $ (применили свойство прямой, параллельной плоскости). Очевидно, $P$ – середина $BD.$

Пусть $NP$ пересекается с $CD$ в точке $M.$ Заметим, $NM$ – средняя линия трапеции, она параллельна плоскости $BCC_1.$ Тогда плоскость $\alpha$ пересекает $BCC_1$ по прямой $KL$ ($L$ – середина $CC_1$), параллельной $NM.$

Итак, $NMLK$ – сечение призмы плоскостью $\alpha.$ Как мы уже показали, – $NMLK$ – трапеция. Покажем, что она равнобедренная. Действительно, $NK,ML$ – средние линии равных треугольников $ABB_1,DCC_1,$ а значит, равны между собой.

б) Найдем объем  $V$ многогранника $NBCMLK$ как сумму объемов пирамид $NBPK,PMCL,BKLCP.$

Несложно рассчитать, что высота трапеции $ABCD$ равна $12.$

$V_{NBPK}=\frac{1}{3}\cdot S_{NBP}\cdot BK=\frac{\frac{S_{ABD}}{4}\cdot BK}{3}=\frac{6\cdot 25\cdot 4}{12}=50.$

$V_{PMCL}=\frac{1}{3}\cdot S_{PMC}\cdot CL=\frac{\frac{S_{BCD}}{4}\cdot CL}{3}=\frac{6\cdot 7 \cdot 4}{12}=14.$

Пусть $PH$ перпендикулярна $BC.$ Тогда в силу перпендикулярности плоскостей $ABCD,BCC_1$ $PH$ перпендикулярна плоскости $BCC_1.$ Заметим, высота $PH$ пирамиды  $BKLCP$ (основание пирамиды – $BKLC$) – половина высоты трапеции.

$V_{PMCL}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCLK}\cdot PH=\frac{7\cdot 4\cdot 6}{3}=56.$

Итак, $V_{NBCMLK}=120.$

При этом $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}\cdot BB_1=\frac{7+25}{2}\cdot 12\cdot 8=1536.$

Наконец, $V=1536-120=1416.$

Ответ: $1416.$