Задание №14 Т/Р №173 А. Ларина

2016-12-01

 Смотрите также  №13№15№16№17№18  Тренировочной работы №173 А. Ларина

В основании приямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точка K – середина ребра BB_1. Плоскость \alpha проходит через середины ребер AB и BB_1 параллельно прямой B_1D.
А) Докажите, что сечением призмы плоскостью \alpha является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость \alpha, если известно, что BC=7,AD=25,AB=15,BB_1=8.

Решение:

a) Плоскость \alpha имеет общую точку K с плоскостью BB_1D, значит пересечет ее по прямой (назовем ее KP,P\in BD), параллельной B_1D, раз по условию B_1D параллельна \alpha (применили свойство прямой, параллельной плоскости). Очевидно, P – середина BD.

Пусть NP пересекается с CD в точке M. Заметим, NM – средняя линия трапеции, она параллельна плоскости BCC_1. Тогда плоскость \alpha пересекает BCC_1 по прямой KL (L – середина CC_1), параллельной NM.

Итак, NMLK – сечение призмы плоскостью \alpha. Как мы уже показали, – NMLK – трапеция. Покажем, что она равнобедренная. Действительно, NK,ML – средние линии равных треугольников ABB_1,DCC_1, а значит, равны между собой.

б) Найдем объем  V многогранника NBCMLK как сумму объемов пирамид NBPK,PMCL,BKLCP.

Несложно рассчитать, что высота трапеции ABCD равна 12.

V_{NBPK}=\frac{1}{3}\cdot S_{NBP}\cdot BK=\frac{\frac{S_{ABD}}{4}\cdot BK}{3}=\frac{6\cdot 25\cdot 4}{12}=50.

V_{PMCL}=\frac{1}{3}\cdot S_{PMC}\cdot CL=\frac{\frac{S_{BCD}}{4}\cdot CL}{3}=\frac{6\cdot 7 \cdot 4}{12}=14.

Пусть PH перпендикулярна BC. Тогда в силу перпендикулярности плоскостей ABCD,BCC_1 PH перпендикулярна плоскости BCC_1. Заметим, высота PH пирамиды  BKLCP (основание пирамиды – BKLC) – половина высоты трапеции.

V_{PMCL}=\frac{1}{3}\cdot S_{BCLK}\cdot PH=\frac{7\cdot 4\cdot 6}{3}=56.

Итак, V_{NBCMLK}=120.

При этом V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}\cdot BB_1=\frac{7+25}{2}\cdot 12\cdot 8=1536.

Наконец, V=1536-120=1416.

Ответ: 1416.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif