Задание №16 Т/Р №173 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

16. Хорда $AB$ окружности параллельна касательной, проходящей через точку $C$, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку $C$ и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке $P$.
А) Докажите, что треугольник $ABP$ равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда $AB$ делит диаметр $CP$, если известно, что $\angle APB=150^{\circ}.$

Решение:

а) Пусть $O$ – центр окружности. Пусть прямая $CP$, проходящая через центр окружности и точку $C,$ пересекается с $AB$ в точке $K.$

 Так как хорда $AB$ параллельна касательной, то она, так же как и касательная, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть $AB\perp CP.$

Треугольники  $AOK,BOK$ равны по гипотенузе ($AO=BO$ – радиусы окружности) и общему катету $OK.$ Откуда $AK=BK.$

Итак, в треугольнике $APB$ высота $PK$  оказалась и медианой, что говорит о том, что  треугольник $ABP$ – равнобедренный.

б) Найдем отношение $CK:KP$.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^{\circ},$ то $\angle ACB=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.$

Имеем:

$\angle ACK=\angle BCK=15^{\circ}$  (треугольник $ACP$ – равнобедренный);

$\angle APK=\angle BPK=75^{\circ}$  (треугольник $APB$ – равнобедренный);

$\angle CAO=\angle ACO=15^{\circ}$  (треугольник $ACO$ – равнобедренный);

$\angle AOK=60^{\circ}$ (угол $A$ опирается на диаметр и $\angle A=15^{\circ}+\angle AOK+15^{\circ}.$)

Пусть $CO=x.$ Тогда и $AO=x.$ Катет $AK$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике $AOK,$ потому $AK=\frac{x}{2}.$ Тогда $OK=\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}=\frac{x\sqrt3}{2}.$

Итак,

$CK:KP=(x+\frac{x\sqrt3}{2}):(x-\frac{x\sqrt3}{2})=(2+\sqrt3):(2-\sqrt3)=$

$=(2+\sqrt3)^2:1=(7+4\sqrt3):1.$

Ответ: б) $(7+4\sqrt3):1.$