Задание №16 Т/Р №173 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№17№18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

16. Хорда $AB$ окружности параллельна касательной, проходящей через точку $C$, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку $C$ и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке $P$.
А) Докажите, что треугольник $ABP$ равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда $AB$ делит диаметр $CP$, если известно, что $\angle APB=150^{\circ}.$

Решение:

а) Пусть $O$ – центр окружности. Пусть прямая $CP$, проходящая через центр окружности и точку $C,$ пересекается с $AB$ в точке $K.$

 Так как хорда $AB$ параллельна касательной, то она, так же как и касательная, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть $AB\perp CP.$

8uyik

Треугольники  $AOK,BOK$ равны по гипотенузе ($AO=BO$ – радиусы окружности) и общему катету $OK.$ Откуда $AK=BK.$

Итак, в треугольнике $APB$ высота $PK$  оказалась и медианой, что говорит о том, что  треугольник $ABP$ – равнобедренный.

б) Найдем отношение $CK:KP$.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^{\circ},$ то $\angle ACB=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.$

Имеем:

$\angle ACK=\angle BCK=15^{\circ}$  (треугольник $ACP$ – равнобедренный);

$\angle APK=\angle BPK=75^{\circ}$  (треугольник $APB$ – равнобедренный);

$\angle CAO=\angle ACO=15^{\circ}$  (треугольник $ACO$ – равнобедренный);

$\angle AOK=60^{\circ}$ (угол $A$ опирается на диаметр и $\angle A=15^{\circ}+\angle AOK+15^{\circ}.$)

jb

Пусть $CO=x.$ Тогда и $AO=x.$ Катет $AK$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике $AOK,$ потому $AK=\frac{x}{2}.$ Тогда $OK=\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}=\frac{x\sqrt3}{2}.$

Итак,

$CK:KP=(x+\frac{x\sqrt3}{2}):(x-\frac{x\sqrt3}{2})=(2+\sqrt3):(2-\sqrt3)=$

$=(2+\sqrt3)^2:1=(7+4\sqrt3):1.$

Ответ: б) $(7+4\sqrt3):1.$

Печать страницы
комментария 2
  1. Николай

    У вас ошибка в нахождении отношения, там надо не CK:KP, а CK:AK или CK:KB, так как они лежат оба против угла в 75 градусов(в подобных треугольниках).

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не вижу ошибки… https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif Не понимаю, почему не нужно СК:KP? Разве не это отношение нас просят найти в пункте (б)?
      Вы уверены?

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




19 − 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif