Задание №16 Т/Р №173 А. Ларина

2016-12-01

 Смотрите также  №13№14№15№17№18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

16. Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку C и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке P.
А) Докажите, что треугольник ABP равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда AB делит диаметр CP, если известно, что \angle APB=150^{\circ}.

Решение:

а) Пусть O – центр окружности. Пусть прямая CP, проходящая через центр окружности и точку C, пересекается с AB в точке K.

 Так как хорда AB параллельна касательной, то она, так же как и касательная, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть AB\perp CP.

Треугольники  AOK,BOK равны по гипотенузе (AO=BO – радиусы окружности) и общему катету OK. Откуда AK=BK.

Итак, в треугольнике APB высота PK  оказалась и медианой, что говорит о том, что  треугольник ABP – равнобедренный.

б) Найдем отношение CK:KP.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180^{\circ}, то \angle ACB=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.

Имеем:

\angle ACK=\angle BCK=15^{\circ}  (треугольник ACP – равнобедренный);

\angle APK=\angle BPK=75^{\circ}  (треугольник APB – равнобедренный);

\angle CAO=\angle ACO=15^{\circ}  (треугольник ACO – равнобедренный);

\angle AOK=60^{\circ} (угол A опирается на диаметр и \angle A=15^{\circ}+\angle AOK+15^{\circ}.)

Пусть CO=x. Тогда и AO=x. Катет AK лежит напротив угла в 30^{\circ} в прямоугольном треугольнике AOK, потому AK=\frac{x}{2}. Тогда OK=\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}=\frac{x\sqrt3}{2}.

Итак,

CK:KP=(x+\frac{x\sqrt3}{2}):(x-\frac{x\sqrt3}{2})=(2+\sqrt3):(2-\sqrt3)=

=(2+\sqrt3)^2:1=(7+4\sqrt3):1.

Ответ: б) (7+4\sqrt3):1.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif