Задание №15 Т/Р №173 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

15. Решите неравенство $\large\frac{8^x-3\cdot 2^{2x+1}+2^{x+3}+1}{4^x-3\cdot 2^{x+1}+8}\normalsize\geq 2^x-1.$

Решение:

$\large\frac{8^x-3\cdot 2^{2x+1}+2^{x+3}+1}{4^x-3\cdot 2^{x+1}+8}\normalsize\geq 2^x-1;$

$\large\frac{(2^x)^3-6\cdot (2^x)^2+8\cdot 2^{x}+1-(2^x-1)((2^x)^2-6\cdot 2^{x}+8)}{(2^x)^2-6\cdot 2^{x}+8}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(2^x)^3-6\cdot (2^x)^2+8\cdot 2^{x}+1-(2^x)^3+6\cdot (2^x)^2-8\cdot 2^x+(2^x)^2-6\cdot 2^{x}+8}{(2^x)^2-6\cdot 2^{x}+8}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(2^x)^2-6\cdot 2^{x}+9}{(2^x-4)(2^x-2)}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-3)^2}{(2^x-4)(2^x-2)}\normalsize\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2^{log_23})^2}{(2^x-2^2)(2^x-2^1)}\normalsize\geq 0.$

Применяем метод замены множителей:

$\large\frac{(x-log_23)^2}{(x-2)(x-1)}\normalsize\geq 0;$

$x\in (-\infty;1)\cup${$log_23$}$\cup (2;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;1)\cup${$log_23$}$\cup (2;+\infty).$