Задание №18 Т/Р №173 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17 Тренировочной работы №173 А. Ларина 

18. Уравнение $2x^3+ax^2+bx+c=0$  с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

Решение:

Пусть $x_1,x_2,x_3$ – корни уравнения $2x^3+ax^2+bx+c=0$.

Cогласно условию $x_1^2+x_2^2=1$, $\frac{x_1}{x_2}=x_3.$  При этом $|x_1|\leq 1$ и $|x_2|\leq 1.$

Очевидно, $x_2\neq 0,$ тогда $x_1\neq \pm 1.$ Также, так как корни различны, то $x_1\neq 0.$

По теореме Виета

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{a}{2},\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{2},\\ x_1x_2x_3=-\frac{c}{2};&\end{cases}$

Из последней строки системы: $x_1^2=-\frac{c}{2}.$

Учитывая, что $c$ – целое и $x_1\neq 0,|x_1|<1,$ получаем, что $c=-1.$

Тогда $x_1^2=\frac{1}{2}$ и $x_2^2=1-x_1^2=\frac{1}{2}.$ Вариант $x_1=x_2$ отпадает.

Итак, $x_1=-x_2.$ Получаем:

$\begin{cases}-1=-\frac{a}{2},\\ -x_1^2=\frac{b}{2},\\ x_1x_2x_3=-\frac{c}{2}\\c=-1;&\end{cases}$

$\begin{cases}a=2,\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{2},\\b=-1,\\c=-1;&\end{cases}$

Итак, подходящее уравнение – это $2x^3+2x^2-x-1=0.$

Ответ: $2x^3+2x^2-x-1=0.$