Главная / 18 (С6) Параметры*

01 Дек 2016

Категория: 18 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №173 А. Ларина

Елена Репина 2016-12-01 2016-12-01

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17 Тренировочной работы №173 А. Ларина

18. Уравнение $2x^3+ax^2+bx+c=0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

Решение:

Пусть $x_1,x_2,x_3$ – корни уравнения $2x^3+ax^2+bx+c=0$ .

Cогласно условию $x_1^2+x_2^2=1$ , $\frac{x_1}{x_2}=x_3.$ При этом $|x_1|\leq 1$ и $|x_2|\leq 1.$

Очевидно, $x_2\neq 0,$ тогда $x_1\neq \pm 1.$ Также, так как корни различны, то $x_1\neq 0.$

По теореме Виета

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{a}{2},& & x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{2},& & x_1x_2x_3=-\frac{c}{2};& \end{cases}$

Из последней строки системы: $x_1^2=-\frac{c}{2}.$

Учитывая, что $c$ – целое и $x_1\neq 0,|x_1|<1,$ получаем, что $c=-1.$

Тогда $x_1^2=\frac{1}{2}$ и $x_2^2=1-x_1^2=\frac{1}{2}.$ Вариант $x_1=x_2$ отпадает.

Итак, $x_1=-x_2.$ Получаем:

$\begin{cases} -1=-\frac{a}{2},& & -x_1^2=\frac{b}{2},& & c=-1;& \end{cases}$

$\begin{cases} a=2,& & b=-1,& & c=-1;& \end{cases}$

Итак, подходящее уравнение – это $2x^3+2x^2-x-1=0.$

Ответ: $2x^3+2x^2-x-1=0.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (78)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 15 (С3) Неравенства (89)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (79)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (68)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (39)
- Переменка (5)
- Планиметрия (77)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (86)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (444)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Подготовка к ЕГЭ по математике © 2013 - 2019