Задание №18 Т/Р №173 А. Ларина

2016-12-01

Смотрите также  №13№14№15№16№17 Тренировочной работы №173 А. Ларина 

18. Уравнение 2x^3+ax^2+bx+c=0  с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

Решение:

Пусть x_1,x_2,x_3 – корни уравнения 2x^3+ax^2+bx+c=0.

Cогласно условию x_1^2+x_2^2=1, \frac{x_1}{x_2}=x_3.  При этом |x_1|\leq 1 и |x_2|\leq 1.

Очевидно, x_2\neq 0, тогда x_1\neq \pm 1. Также, так как корни различны, то x_1\neq 0.

По теореме Виета

 \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{a}{2},& & x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{2},& & x_1x_2x_3=-\frac{c}{2};& \end{cases}

Из последней строки системы: x_1^2=-\frac{c}{2}.

Учитывая, что c – целое и x_1\neq 0,|x_1|<1, получаем, что c=-1.

Тогда x_1^2=\frac{1}{2} и x_2^2=1-x_1^2=\frac{1}{2}. Вариант x_1=x_2 отпадает.

Итак, x_1=-x_2. Получаем:

\begin{cases} -1=-\frac{a}{2},& & -x_1^2=\frac{b}{2},& & c=-1;& \end{cases}

\begin{cases} a=2,& & b=-1,& & c=-1;& \end{cases}

Итак, подходящее уравнение – это 2x^3+2x^2-x-1=0.

Ответ: 2x^3+2x^2-x-1=0.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif