Задание №19 Т/Р №207 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

19. Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n>3$).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $14$?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $900$?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $123$.

Решение:

a) Пусть сумма всех $n$ штук данных чисел равна $14.$ Пусть $a_1$ – первый член данной прогрессии, $d$ – шаг прогрессии.

Тогда

$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}=14;$

$(2a_1+d(n-1))n=28;$

Пусть $n=4.$ Имеем

$(2a_1+3d)\cdot 4=28;$

$2a_1+3d=7.$

Если $a_1=2,d=1,$ то имеем следующий ряд чисел: $2;3;4;5.$

Это арифметическая прогрессия ($n>3$), сумма которой равна $14.$

б) Пусть $n$ – наибольшее количество чисел данного ряда.

Тогда

$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}<900;$

$(2a_1+d(n-1))n<1800.$

Очевидно,

$(2+1(n-1))n\leq (2a_1+d(n-1))n<1800;$

Поэтому

$(2+1(n-1))n<1800;$

$n^2+n-1800<0;$

$(n-\frac{-1+\sqrt{7201}}{2})(n-\frac{-1-\sqrt{7201}}{2})<0;$

Так как $84=\sqrt{7056}<\sqrt{7201}<\sqrt{7225}=85,$ то наибольшее натуральное значение $n,$ отвечающее неравенству, – это $41.$

Сумма ряда $1;2;3;…41$ равна $\frac{(1+41)\cdot 41}{2}=861$ (а уже у ряда $1;2;3;…42$ – сумма будет $903$).

в) 

$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}=123;$

$(2a_1+d(n-1))n=246.$

Так как $246=2\cdot 3\cdot 41,$ то следует рассмотреть (учитывая, что $n$ уж точно меньше $41$ и больше $3$ по условию) лишь случай:

$\begin{cases}n=6,\\2a_1+d(n-1)=41;&\end{cases}$

$\begin{cases}n=6,\\2a_1+5d=41;&\end{cases}$

При $n=6$ можно взять  $a_1=3, d=7.$

Ответ: а) да; б) $41$; в) $6.$