Задание №14 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-30

Смотрите также №13№15№16; №17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

14. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD=DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCPD, где M – точка пересечения ребра AD и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 8\sqrt3 , а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом 60^{\circ}.

Решение:

a) Пусть H – середина BC. Так как треугольник  BDC равнобедренный, то прямая  DH перпендикулярна BC. По условию боковая грань BCD перпендикулярна основанию ABC, а значит по свойству перпендикулярных плоскостей  перпендикуляр DH к BC  является и перпендикуляром к плоскости ABC, то есть DH – высота пирамиды ABCD.

Если в плоскости AHD построить перпендикуляр HM к AD, то поскольку AD, как наклонная к плоскости ABC, чья проекция AH перпендикулярна BC, перпендикулярна BC, то AD (будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCM), перпендикулярна (BCM) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Как построить перпендикуляр MH к AD? Для этого следует взять точку M так, что AM:AD=1:4.

Действительно, как мы замечаем,

1) угол DAH – и есть угол в 60^{\circ} между прямой AD и плоскостью основания ABC, а значит AH – половина AD по свойству прямоугольного треугольника с углом в 30^{\circ};

2) AM – половина AH, так как и в прямоугольном треугольнике AMH есть угол в 30^{\circ}. То есть AM – половина половины AD.

Итак, искомое сечение – BMC, где M – такая, что AM:AD=1:4.

б) Найдем объем  пирамиды ACBM с основанием ABC.

V_{ABCM}=\frac{S_{ABC}\cdot MQ}{3},

где MQ – высота указанной пирамиды.

При этом, очевидно, проекция Q точки M на плоскость ABC – такова, что AQ:AH=1:4 и MQ=\frac{DH}{4}.

MQ=\frac{DH}{4}=\frac{tg60^{\circ}\cdot AH}{4}=\frac{\sqrt3\cdot 12}{4}=3\sqrt3.

Итак,

V_{ABCM}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 3\sqrt3}{3}=144.

А поскольку

V_{ABCD}=\frac{S_{ABC}\cdot DH}{3}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 12\sqrt3}{3}=576,

то

V_{BCDM}=V_{ABCD}-V_{ABCM}=576-144=432.

Ответ: б) 432.

Печать страницы
комментария 2
  1. ВАсилий

    Елена, здравствуйте! Огромное спасибо за такое красивое и чёткое решение этой задачи .
    С уважением Василий.
    19.10.2017.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемь + двенадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif