Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.
14. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник
. Боковая грань пирамиды
перпендикулярна основанию,
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро перпендикулярно ребру
.
б) Найдите объём пирамиды , где
– точка пересечения ребра
и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды
равна
, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом
Решение:
a) Пусть – середина
Так как треугольник
равнобедренный, то прямая
перпендикулярна
По условию боковая грань
перпендикулярна основанию
а значит по свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр
к
является и перпендикуляром к плоскости
то есть
– высота пирамиды
Если в плоскости построить перпендикуляр
к
то поскольку
как наклонная к плоскости
чья проекция
перпендикулярна
перпендикулярна
то
(будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
), перпендикулярна
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Как построить перпендикуляр к
Для этого следует взять точку
так, что
Действительно, как мы замечаем,
1) угол – и есть угол в
между прямой
и плоскостью основания
а значит
– половина
по свойству прямоугольного треугольника с углом в
;
2) – половина
, так как и в прямоугольном треугольнике
есть угол в
То есть
– половина половины
Итак, искомое сечение – где
– такая, что
б) Найдем объем пирамиды с основанием
где – высота указанной пирамиды.
При этом, очевидно, проекция точки
на плоскость
– такова, что
и
Итак,
А поскольку
то
Ответ: б)
Елена, здравствуйте! Огромное спасибо за такое красивое и чёткое решение этой задачи .
С уважением Василий.
19.10.2017.