Задание №14 Т/Р №207 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

14. В основании треугольной пирамиды $ABCD$ лежит правильный треугольник $ABC$. Боковая грань пирамиды $BCD$ перпендикулярна основанию, $BD=DC.$

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$.

б) Найдите объём пирамиды $BCPD$, где $M$ – точка пересечения ребра $AD$ и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды $ABCD$ равна $8\sqrt3$ , а боковое ребро $AD$ наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}.$

Решение:

a) Пусть $H$ – середина $BC.$ Так как треугольник  $BDC$ равнобедренный, то прямая  $DH$ перпендикулярна $BC.$ По условию боковая грань $BCD$ перпендикулярна основанию $ABC,$ а значит по свойству перпендикулярных плоскостей  перпендикуляр $DH$ к $BC$  является и перпендикуляром к плоскости $ABC,$ то есть $DH$ – высота пирамиды $ABCD.$

Если в плоскости $AHD$ построить перпендикуляр $HM$ к $AD,$ то поскольку $AD,$ как наклонная к плоскости $ABC,$ чья проекция $AH$ перпендикулярна $BC,$ перпендикулярна $BC,$ то $AD$ (будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BCM$), перпендикулярна $(BCM)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Как построить перпендикуляр $MH$ к $AD?$ Для этого следует взять точку $M$ так, что $AM:AD=1:4.$

Действительно, как мы замечаем,

1) угол $DAH$ – и есть угол в $60^{\circ}$ между прямой $AD$ и плоскостью основания $ABC,$ а значит $AH$ – половина $AD$ по свойству прямоугольного треугольника с углом в $30^{\circ}$;

2) $AM$ – половина $AH$, так как и в прямоугольном треугольнике $AMH$ есть угол в $30^{\circ}.$ То есть $AM$ – половина половины $AD.$

Итак, искомое сечение – $BMC,$ где $M$ – такая, что $AM:AD=1:4.$

б) Найдем объем  пирамиды $ACBM$ с основанием $ABC.$

$V_{ABCM}=\frac{S_{ABC}\cdot MQ}{3},$

где $MQ$ – высота указанной пирамиды.

При этом, очевидно, проекция $Q$ точки $M$ на плоскость $ABC$ – такова, что $AQ:AH=1:4$ и $MQ=\frac{DH}{4}.$

$MQ=\frac{DH}{4}=\frac{tg60^{\circ}\cdot AH}{4}=\frac{\sqrt3\cdot 12}{4}=3\sqrt3.$

Итак,

$V_{ABCM}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 3\sqrt3}{3}=144.$

А поскольку

$V_{ABCD}=\frac{S_{ABC}\cdot DH}{3}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 12\sqrt3}{3}=576,$

то

$V_{BCDM}=V_{ABCD}-V_{ABCM}=576-144=432.$

Ответ: б) $432.$