Задание №14 Т/Р №207 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

14. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник . Боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию,

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро перпендикулярно ребру .

б) Найдите объём пирамиды , где – точка пересечения ребра и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды равна , а боковое ребро  наклонено к плоскости основания под углом

Решение:

a) Пусть – середина Так как треугольник   равнобедренный, то прямая   перпендикулярна По условию боковая грань перпендикулярна основанию а значит по свойству перпендикулярных плоскостей  перпендикуляр к   является и перпендикуляром к плоскости то есть – высота пирамиды

Если в плоскости построить перпендикуляр к то поскольку как наклонная к плоскости чья проекция перпендикулярна перпендикулярна то (будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ), перпендикулярна по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Как построить перпендикуляр к Для этого следует взять точку так, что

Действительно, как мы замечаем,

1) угол – и есть угол в между прямой и плоскостью основания а значит – половина по свойству прямоугольного треугольника с углом в ;

2) – половина , так как и в прямоугольном треугольнике есть угол в  То есть – половина половины

Итак, искомое сечение – где – такая, что 

б) Найдем объем  пирамиды с основанием

где – высота указанной пирамиды.

При этом, очевидно, проекция точки на плоскость – такова, что и

Итак,

А поскольку

то

Ответ: б)