Задание №13 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также  №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

13. Дано уравнение $\frac{1+2sin^2x-\sqrt3sin2x}{2sinx-1}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$.

Решение: 

а) 

$\frac{1+2sin^2x-\sqrt3sin2x}{2sinx-1}=0;$

 $\begin{cases}
1+2sin^2x-\sqrt3sin2x=0,\\
2sinx-1\neq 0;&
\end{cases}$

 $\begin{cases}
(sin^2x+cos^2x)+2sin^2x-2\sqrt3sinxcosx=0,\\
sinx\neq \frac{1}{2};&
\end{cases}$

 $\begin{cases}
3sin^2x-2\sqrt3sinxcosx+cos^2x=0,\\
sinx\neq \frac{1}{2};&
\end{cases}$

Поделим обе части первого уравнения системы на $cos^2x$, заметив, что $cosx=0$ не дает верного равенства в первой строке.

$\begin{cases}
3tg^2x-2\sqrt 3 tgx+1=0,\\
sinx\neq \frac{1}{2};&
\end{cases}$

$\begin{cases}
(\sqrt3 tgx-1)^2=0,\\
sinx\neq \frac{1}{2};&
\end{cases}$

$\begin{cases}
tgx=\frac{1}{\sqrt3},\\
sinx\neq \frac{1}{2};&
\end{cases}$

$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,n\in Z.$

б) Корень уравнения из отрезка $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$:

$\frac{7\pi}{6}$

Ответ:

а) $\frac{7\pi}{6}+2\pi n,n\in Z;$

б) $\frac{7\pi}{6}.$