Задание №16 Т/Р №100 А. Ларина

Елена Репина 2015-01-22 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ длина высоты, опущенной из вершины $S$ на основание $ABCD$ , равна $6\sqrt2$ . Через точку касания с боковой гранью $SAB$ вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой $AB$ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине $S$ точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если $AB=4\sqrt6.$

Решение:

a) Пусть $K$ – точка касания шара с боковой гранью пирамиды $SAB.$

Плоскость сечения, параллельная по условию $AB$ , пересекает плоскость грани $SAB$ по прямой ( $l$ ), параллельной $AB$ .

Пусть $l$ пересекает $AS$ , $BS$ соответственно в точках $M$ и $N$ .

Плоскость сечения проходит через ближайшую к вершине точку шара, назовем ее $P$ ( $P\in SH$ , $H$ – проекция $S$ на плоскость основания $ABCD$ ). Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости $ACS$ . Тогда $MP$ пересекается с $SC$ в некоторой точке, назовем ее $R$ .

Аналогично,точки $N$ и $P$ лежат в плоскости $BSD$ . Тогда $NP$ пересекается с $SD$ в некоторой точке, назовем ее $T$ .

Четырехугольник $MNRT$ – искомое сечение.

Заметим, $MNRT$ – трапеция. (Действительно, $CD$ , будучи параллельной $AB$ , которая в свою очередь параллельна плоскости сечения, параллельна плоскости сечения. А значит, плоскость сечения пересекает плоскость $SDC$ , в которой лежит $CD$ по прямой, параллельной $CD$ ). Очевидно также, что $MNRT$ – равнобедренная трапеция.

б) Заметим, точка $K$ лежит на высоте ( $SL$ ) треугольника $SAB$ . (Действительно, наклонная $SO$ к плоскости $SAB$ перпендикулярна $AB$ , значит и ее проекция $SK$ на плоскость $SAB$ перпендикулярна $AB$ по теореме о трех перпендикулярах). При этом, очевидно, $K$ – середина $MN.$

Пусть $SV\perp CD$ .

Треугольник $SLV$ – равносторонний. Действительно, $LV=4\sqrt6$ и $SL=SV=\sqrt{(6\sqrt2)^2+(2\sqrt6)^2}=4\sqrt6.$

В равносторонний треугольник $SLV$ вписана окружность. $OH=\frac{1}{3}SH=2\sqrt2.$ Также и $OK=OP=PS=2\sqrt2.$

Из прямоугольного треугольника $KSO$ медиана $KP$ , проведенная к гипотенузе, – половина гипотенузы, то есть $2\sqrt2.$

Треугольник $KPO$ – равносторонний. Тогда угол $SPY=60^{\circ}.$ А поскольку угол $PSY=30^{\circ}$ ( $Y$ – точка пересечения $KP$ и $SV$ ), то $KY\perp SV.$