В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде длина высоты, опущенной из вершины
на основание
, равна
. Через точку касания с боковой гранью
вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой
проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине
точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если
Решение:
a) Пусть – точка касания шара с боковой гранью пирамиды
Плоскость сечения, параллельная по условию , пересекает плоскость грани
по прямой (
), параллельной
.
Пусть пересекает
,
соответственно в точках
и
.
Плоскость сечения проходит через ближайшую к вершине точку шара, назовем ее (
,
– проекция
на плоскость основания
). Точки
и
лежат в плоскости
. Тогда
пересекается с
в некоторой точке, назовем ее
.
Аналогично,точки и
лежат в плоскости
. Тогда
пересекается с
в некоторой точке, назовем ее
.
Четырехугольник – искомое сечение.
Заметим, – трапеция. (Действительно,
, будучи параллельной
, которая в свою очередь параллельна плоскости сечения, параллельна плоскости сечения. А значит, плоскость сечения пересекает плоскость
, в которой лежит
по прямой, параллельной
). Очевидно также, что
– равнобедренная трапеция.
б) Заметим, точка лежит на высоте (
) треугольника
. (Действительно, наклонная
к плоскости
перпендикулярна
, значит и ее проекция
на плоскость
перпендикулярна
по теореме о трех перпендикулярах). При этом, очевидно,
– середина
Пусть .
Треугольник – равносторонний. Действительно,
и
В равносторонний треугольник вписана окружность.
Также и
Из прямоугольного треугольника медиана
, проведенная к гипотенузе, – половина гипотенузы, то есть
Треугольник – равносторонний. Тогда угол
А поскольку угол
(
– точка пересечения
и
), то
Имеем:
Из подобия треугольников и
:
то есть
Из подобия треугольников и
:
то есть
Из подобия треугольников и
:
то есть
Наконец,
Ответ:
Добавить комментарий