Задание №16 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также  №15№17№18№20.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна 6\sqrt2. Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой AB проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если AB=4\sqrt6.

Решение:

a) Пусть K – точка касания шара с боковой гранью пирамиды SAB.

Плоскость сечения, параллельная по условию AB, пересекает плоскость грани SAB по прямой (l), параллельной AB.

Пусть l пересекает AS, BS соответственно в точках M и N.

Плоскость сечения проходит через ближайшую к вершине точку шара, назовем ее P (P\in SH, H  – проекция S на плоскость основания ABCD). Точки M и P лежат в плоскости ACS. Тогда MP пересекается с SC в некоторой точке, назовем ее R.

Аналогично,точки N и P лежат в плоскости BSD. Тогда NP пересекается с SD в некоторой точке, назовем ее T.

Четырехугольник MNRTискомое сечение.

Заметим, MNRT – трапеция. (Действительно, CD, будучи параллельной AB, которая в свою очередь параллельна плоскости сечения, параллельна плоскости сечения. А значит, плоскость сечения пересекает плоскость SDC, в которой лежит CD по прямой, параллельной CD). Очевидно также, что  MNRT – равнобедренная трапеция.

б) Заметим, точка K лежит на высоте (SL) треугольника SAB. (Действительно, наклонная SO к плоскости SAB перпендикулярна AB, значит и ее проекция SK на плоскость SAB  перпендикулярна AB по теореме о трех перпендикулярах). При этом, очевидно, K – середина MN.

Пусть SV\perp CD.

Треугольник SLV  – равносторонний. Действительно, LV=4\sqrt6  и SL=SV=\sqrt{(6\sqrt2)^2+(2\sqrt6)^2}=4\sqrt6.

В равносторонний треугольник SLV вписана окружность. OH=\frac{1}{3}SH=2\sqrt2.  Также и OK=OP=PS=2\sqrt2.

Из прямоугольного треугольника KSO медиана KP, проведенная к гипотенузе, – половина гипотенузы, то есть 2\sqrt2.

Треугольник KPO – равносторонний. Тогда угол SPY=60^{\circ}. А поскольку угол PSY=30^{\circ} (Y – точка пересечения KP и SV ), то KY\perp SV.

Имеем: PY=\frac{SP}{2}=\sqrt2, SY=\sqrt{SP^2-PY^2}=\sqrt6.

 

Из подобия треугольников MSN и ASB:

  MN:AB=SK:SL, то есть MN=\frac{AB}{2}=2\sqrt6.

Из подобия треугольников TSR и DSC:

TR:DC=SY:SV, то есть TR=\frac{AB}{4}=\sqrt6.

Из подобия треугольников KPN и YPT:

KP:PY=MN:TR, то есть PY=\frac{KP}{2}=\sqrt2.

Наконец, S_{MNRT}=\frac{MN+RT}{2}\cdot KY=\frac{2\sqrt6+\sqrt6}{2}\cdot 3\sqrt2=9\sqrt3.

Ответ: 9\sqrt3.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif