Задание №15 Т/Р №183 А. Ларина

2017-02-08

Смотрите также №13№14№16№17№18№19 Тренировочной работы №183 А. Ларина

15. Решите неравенство

\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.

Решение:

\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};

\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{x^2}2-log_{x^2}x^2)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};

\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.

Заметим, что так как

(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)\geq 0   (*)

то

x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].

Действительно, (*) равносильно неравенству:

(x-1)(x-2)(|x|-1)(\sqrt2-|x|)\geq 0 при условии x\neq \pm 1,x\neq 0.

Далее, используя  метод замены множителей, получаем:

(x-1)(x-2)(x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0 при условии x\neq \pm 1,x\neq 0;

(x-1)^2(x-2)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0 при условии x\neq \pm 1,x\neq 0;

x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].

Таким образом, |x+2|=x+2.

Тогда переходим к неравенству, равносильному исходному:

\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}}>(x-1)(x-2)+(log_{|x|}\sqrt2-1)  (**)

Заметим, (x-1)(x-2)  и  (log_{|x|}\sqrt2-1) одного знака!

Рассмотрим отдельные случаи:

Если x=2, то исходное неравенство выполняется.

Если x=\sqrt2, то исходное неравенство выполняется.

Если x=-\sqrt2, то исходное неравенство  не выполняется.

Так как для  любых положительных чисел a,b неравенство \sqrt{ab}>a+b неверно, в чем несложно убедиться, а для отрицательных a,b неравенство \sqrt{ab}>a+b выполняется всегда, то

неравенство (**)  верно, если

(x-1)(x-2)<0 и (log_{|x|}\sqrt2-1)<0  на ОДЗ.

То есть

(x-1)(x-2)<0 и (|x|-1)(\sqrt2-|x|)<0 на ОДЗ.

(x-1)(x-2)<0 и (x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)<0 на ОДЗ.

 

x\in (\sqrt2;2).

Итак, учитывая все вышесказанное, получаем следующее решение исходного неравенства:

x\in [\sqrt2;2].

 Ответ: [\sqrt2;2].

Печать страницы
комментария 2
  1. Роза

    Здравствуйте, в решении написано: “Действительно, (*) равносильно неравенству…”. Объясните, пожалуйста, почему эти неравенства равносильны.

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 × 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif