Главная / 15 (С3) Неравенства

09 Фев 2017

Категория: 15 (С3) НеравенстваТ/P A. Ларина

Задание №15 Т/Р №183 А. Ларина

Елена Репина 2017-02-09 2017-02-08

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина

15. Решите неравенство

$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.$

Решение:

$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};$

$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{x^2}2-log_{x^2}x^2)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};$

$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.$

Заметим, что так как

$(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)\geq 0$ (*)

то

$x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].$

Действительно, (*) равносильно неравенству:

$(x-1)(x-2)(|x|-1)(\sqrt2-|x|)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0.$

Далее, используя метод замены множителей, получаем:

$(x-1)(x-2)(x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0;$

$(x-1)^2(x-2)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0;$

oiu

$x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].$

Таким образом, $|x+2|=x+2.$

Тогда переходим к неравенству, равносильному исходному:

$\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}}>(x-1)(x-2)+(log_{|x|}\sqrt2-1)$ (**)

Заметим, $(x-1)(x-2)$ и $(log_{|x|}\sqrt2-1)$ одного знака!

Рассмотрим отдельные случаи:

Если $x=2,$ то исходное неравенство выполняется.

Если $x=\sqrt2,$ то исходное неравенство выполняется.

Если $x=-\sqrt2,$ то исходное неравенство не выполняется.

Так как для любых положительных чисел $a,b$ неравенство $\sqrt{ab}>a+b$ неверно, в чем несложно убедиться, а для отрицательных $a,b$ неравенство $\sqrt{ab}>a+b$ выполняется всегда, то

неравенство (**) верно, если

$(x-1)(x-2)<0$ и $(log_{|x|}\sqrt2-1)<0$ на ОДЗ.

То есть

$(x-1)(x-2)<0$ и $(|x|-1)(\sqrt2-|x|)<0$ на ОДЗ.

$(x-1)(x-2)<0$ и $(x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)<0$ на ОДЗ.

егн

$x\in (\sqrt2;2).$

Итак, учитывая все вышесказанное, получаем следующее решение исходного неравенства:

$x\in [\sqrt2;2].$

Ответ: $[\sqrt2;2].$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Роза

2017-02-13 в 10:55

Здравствуйте, в решении написано: “Действительно, (*) равносильно неравенству…”. Объясните, пожалуйста, почему эти неравенства равносильны.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-02-13 в 11:32
  
  Согласно методу рационализации
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (77)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (93)
- 15 (С3) Неравенства (87)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (85)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (77)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (68)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (38)
- Переменка (5)
- Планиметрия (76)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (84)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (437)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Подготовка к ЕГЭ по математике © 2013 - 2019