Задание №15 Т/Р №183 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина

15. Решите неравенство

$\large \frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.$

Решение:

$\large\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};$

$\large\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{x^2}2-log_{x^2}x^2)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2};$

$\large\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)-1+log_{|x|}\sqrt2}{x+2}.$

Заметим, что так как

$(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)\geq 0$   (*)

то

$x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].$

Действительно, (*) равносильно неравенству:

$(x-1)(x-2)(|x|-1)(\sqrt2-|x|)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0.$

Далее, используя  метод замены множителей, получаем:

$(x-1)(x-2)(x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0;$

$(x-1)^2(x-2)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt 2+x)\geq 0$ при условии $x\neq \pm 1,x\neq 0;$

$x\in [-\sqrt2;-1)\cup [\sqrt2;2].$

Таким образом, $|x+2|=x+2.$

Тогда переходим к неравенству, равносильному исходному:

$\sqrt{(x-1)(x-2)(log_{|x|}\sqrt2-1)}>(x-1)(x-2)+(log_{|x|}\sqrt2-1)$  (**)

Заметим, $(x-1)(x-2)$  и  $(log_{|x|}\sqrt2-1)$ одного знака!

Рассмотрим отдельные случаи:

Если $x=2,$ то исходное неравенство выполняется.

Если $x=\sqrt2,$ то исходное неравенство выполняется.

Если $x=-\sqrt2,$ то исходное неравенство  не выполняется.

Так как для  любых положительных чисел $a,b$ неравенство $\sqrt{ab}>a+b$ неверно, в чем несложно убедиться, а для отрицательных $a,b$ неравенство $\sqrt{ab}>a+b$ выполняется всегда, то

неравенство (**)  верно, если

$(x-1)(x-2)<0$ и $(log_{|x|}\sqrt2-1)<0$  на ОДЗ.

То есть

$(x-1)(x-2)<0$ и $(|x|-1)(\sqrt2-|x|)<0$ на ОДЗ.

$(x-1)(x-2)<0$ и $(x-1)(x+1)(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)<0$ на ОДЗ.

$x\in (\sqrt2;2).$

Итак, учитывая все вышесказанное, получаем следующее решение исходного неравенства:

$x\in [\sqrt2;2].$

 Ответ: $[\sqrt2;2].$