Задание №15 Т/Р №210 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19  Тренировочной работы №210 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$log_3(2^x+1)+log_{2^x+1}3\geq 2,5.$

Решение:

$log_3(2^x+1)+log_{2^x+1}3\geq 2,5;$

$log_3(2^x+1)+\frac{1}{log_3(2^x+1)}\geq 2,5.$

Домножим обе части неравенства на положительную величину $log_3(2^x+1):$

$log^2_3(2^x+1)-2,5log_3(2^x+1)+1\geq 0;$

$2log^2_3(2^x+1)-5log_3(2^x+1)+2\geq 0;$

$(log_3(2^x+1)-2)(log_3(2^x+1)-\frac{1}{2})\geq 0.$

Воспользуемся методом замены множителей для логарифмических неравенств:

$(log_3(2^x+1)-log_39)(log_3(2^x+1)-log_3\sqrt3)\geq 0;$

$(2^x+1-9)(2^x+1-\sqrt3)\geq 0;$

$(2^x-8)(2^x-(\sqrt3-1))\geq 0;$

Еще раз воспользуемся методом замены множителей теперь уже для показательных неравенств:

$(2^x-2^3)(2^x-2^{\log_2(\sqrt3-1)})\geq 0;$

$(x-3)(x-log_2(\sqrt3-1))\geq 0;$

$\left[\begin{array}{rcl}x\leq log_2(\sqrt3-1),\\x\geq 3;\end{array}\right.$

$x\in (-\infty;log_2(\sqrt3-1)]\cup [3;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;log_2(\sqrt3-1)]\cup [3;+\infty).$