Смотрите также №15, №16, №17, №20
В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC$ – основание. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ отмечена точка $D$ так, что угол $CAD$ равен углу $ABD$.
а) Докажите, что $AB$ – биссектриса угла $CAD$.
б) Найдите длину отрезка $AD$, если боковая сторона треугольника $ABC$ равна 5, а его основание равно 6.
Решение:
a)
Если принять угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$ за $\alpha$, то угол $ABD$, как внешний угол треугольника, будет равен $2\alpha$.
А поскольку по условию углы $CAD$ и $ABD$ равны, то становится очевидным, что и угол $DAB$, как и угол $BAC$, равен $\alpha$, то есть $AB$ – биссектриса угла $CAD.$
б)
Треугольники $ABD$ и $CAD$ подобны по двум углам ($\angle ABD= \angle CAD$, $\angle DAB=\angle DCA$), значит
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD};$
Так как по условию $AB=5,$ $AC=6$, то
$\frac{5}{6}=\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{5+BD}.$
Из $\frac{5}{6}=\frac{BD}{AD}$ имеем: $BD=\frac{5AD}{6}.$
Возвращаемся в следующую пропорцию:
$\frac{5}{6}=\frac{AD}{5+BD}$:
$\frac{5}{6}=\frac{AD}{5+\frac{5AD}{6}};$
$5(30+5AD)=36AD;$
$150+25AD=36AD;$
$11AD=150;$
$AD=\frac{150}{11}.$
Ответ: $\frac{150}{11}.$
Добавить комментарий