Задание №18 (С4) из Т/Р №91 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №20

В равнобедренном треугольнике $ABC$  $AC$ – основание. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ отмечена точка $D$ так, что угол $CAD$ равен углу $ABD$.

а) Докажите, что $AB$ – биссектриса угла $CAD$.

б) Найдите длину отрезка $AD$, если боковая сторона треугольника $ABC$ равна 5, а его основание равно 6.

Решение:

a)

Если принять угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$ за $\alpha$, то угол $ABD$, как внешний угол треугольника, будет равен $2\alpha$.

А поскольку по условию углы $CAD$ и $ABD$ равны, то становится очевидным, что и угол $DAB$, как и угол $BAC$, равен $\alpha$, то есть $AB$ –  биссектриса угла $CAD.$

б)

Треугольники $ABD$ и $CAD$ подобны по двум углам ($\angle ABD= \angle CAD$, $\angle DAB=\angle DCA$), значит

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD};$

Так как по условию   $AB=5,$ $AC=6$,  то

$\frac{5}{6}=\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{5+BD}.$

Из   $\frac{5}{6}=\frac{BD}{AD}$   имеем:  $BD=\frac{5AD}{6}.$

Возвращаемся    в  следующую пропорцию:

  $\frac{5}{6}=\frac{AD}{5+BD}$:

$\frac{5}{6}=\frac{AD}{5+\frac{5AD}{6}};$

$5(30+5AD)=36AD;$

$150+25AD=36AD;$

$11AD=150;$

$AD=\frac{150}{11}.$

Ответ: $\frac{150}{11}.$