Задание №13 Т/Р №163 А. Ларина

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

13. Дано уравнение $625^x-6\cdot 125^x+9\cdot 25^x=4\cdot 25^x-24\cdot 5^x+36.$

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка $[\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$.

Решение:

a)

$625^x-6\cdot 125^x+9\cdot 25^x=4\cdot 25^x-24\cdot 5^x+36;$

$625^x-6\cdot 125^x+5\cdot 25^x+24\cdot 5^x-36=0.$

Пусть $5^x=m, m>0.$ Тогда

$m^4-6\cdot m^3+5\cdot m^2+24\cdot m-36=0.$

Замечаем, что $m=3$ является корнем данного уравнения. Потому многочлен левой части уравнения может быть представлен в виде произведения, один из множителей которого – разность $m-3.$  Найдем второй множитель:

При этом

$m^3-3m^2-4m+12=m(m^2-4)-3(m^2-4)=(m^2-4)(m-3)=$

$=(m-2)(m+2)(m-3).$

Итак, перепишем исходное уравнение следующим образом:

$(m-3)^2(m-2)(m+2)=0.$

Помня о том, что $m>0,$ получаем, что корни последнего уравнения – $2$ и $3$.

Тогда, применяя обратную замену, получаем:

$5^x=2$ или $5^x=3;$

$x=log_52$ или $x=log_53.$

б) Проверим, принадлежат ли найденные корни уравнения отрезку $[\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$.

$\frac{1}{3}=log_5\sqrt[3]5<log_5\sqrt[3]8=log_52=log_5\sqrt4<log_5\sqrt5=\frac{1}{2}.$

Итак, корень $log_52$ входит в указанный отрезок.

Но $log_53=log_5\sqrt9>log_5\sqrt5=\frac{1}{2},$ что говорит о том, что $log_53$ не входит в указанный отрезок.

Ответ:

а) $log_52,log_53.$

б) $log_52$.