Задание №18 (С4) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также задания 15, 16, 17, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD, CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF=FG.

а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EH на три равных части;

б) Найдите EF, если BC=3, AD=4.

Решение: 

а) Треугольники AEF и ABC  подобны по I признаку. Пусть коэффициент подобия – k.

Аналогично треугольники DGH и DBC подобны. Причем коэффициент подобия – также k (по т. Фалеса AE:EB=DH:HC, откуда следует, что и AE:AB=DH:DC).

То есть \frac{EF}{BC}=k и \frac{GH}{BC}=k, а значит EF=GH.

C учетом условия EF=FG имеем: точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EH на три равных части.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть P, N, L – основания перпендикуляров из т. О (точки пересечения диагоналей) к BC, AD и p соответственно. 

Как мы уже сказали, треугольники AEF и ABC  подобны (коэффициент подобия – k=\frac{EF}{BC}). Тогда с учетом того, что BC=3 имеем: EF=3k.

Но тогда и GH=FG=3k.

А также \frac{LN}{PN}=k (в подобных треугольниках отношение сходственных высот есть коэффициент подобия).

Далее, треугольники EBG и ABD подобны, коэффициент подобия  – \frac{EG}{AD}=\frac{6k}{4}.

Тогда

\frac{6k}{4}=\frac{PL}{PN};

\frac{3k}{2}=\frac{PN-LN}{PN};

\frac{3k}{2}=1-\frac{LN}{PN};

С учетом \frac{LN}{PN}=k имеем:

\frac{3k}{2}=1-k;

k=\frac{2}{5}.

Наконец, EF=3k=1,2.

Ответ: 1,2.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Карина

    Здравствуйте,Елена Юрьевна.Объясните, пожалуйста,высотами каких треугольников являются LN и PN?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Карина, смотрите:
      LN равен высоте треугольника AEF, а PN – высоте ABC. А мы говорили, что коэффициент подобия треугольников AEF и ABC равен k. Тогда и LN:PN=k

      [ Ответить ]
  2. Лилия

    Спасибо, красивое и понятное решение

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif