В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также задания 15, 16, 17, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.
Прямая , параллельная основаниям
и
трапеции
, пересекает прямые
,
,
в точках
,
и
соответственно, причём
.
а) Докажите, что точки пересечения прямой с диагоналями
и
делят отрезок
на три равных части;
б) Найдите , если
,
.
Решение:
а) Треугольники и
подобны по I признаку. Пусть коэффициент подобия –
.
Аналогично треугольники и
подобны. Причем коэффициент подобия – также
(по т. Фалеса
, откуда следует, что и
).
То есть и
, а значит
.
C учетом условия имеем: точки пересечения прямой
с диагоналями
и
делят отрезок
на три равных части.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
,
– основания перпендикуляров из т. О (точки пересечения диагоналей) к
и
соответственно.
Как мы уже сказали, треугольники и
подобны (коэффициент подобия –
). Тогда с учетом того, что
имеем:
.
Но тогда и
А также (в подобных треугольниках отношение сходственных высот есть коэффициент подобия).
Далее, треугольники и
подобны, коэффициент подобия –
Тогда
С учетом имеем:
Наконец,
Ответ: 1,2.
Здравствуйте,Елена Юрьевна.Объясните, пожалуйста,высотами каких треугольников являются LN и PN?
Карина, смотрите:
LN равен высоте треугольника AEF, а PN – высоте ABC. А мы говорили, что коэффициент подобия треугольников AEF и ABC равен k. Тогда и LN:PN=k
Спасибо, красивое и понятное решение