Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
Тесты
Карта сайта
Контакты
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также задания 15, 16, 17, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.
Прямая 
, параллельная основаниям 
и 
трапеции 
, пересекает прямые 
, 
, 
в точках 
, 
и 
соответственно, причём 
.
а) Докажите, что точки пересечения прямой с диагоналями 
и делят отрезок 
на три равных части;
б) Найдите 
, если 
, 
.
Решение:
а) Треугольники 
и 
подобны по I признаку. Пусть коэффициент подобия – 
.
Аналогично треугольники 
и 
подобны. Причем коэффициент подобия – также (по т. Фалеса 
, откуда следует, что и 
).
То есть 
и 
, а значит 
.
C учетом условия имеем: точки пересечения прямой с диагоналями и делят отрезок на три равных части.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
, 
– основания перпендикуляров из т. О (точки пересечения диагоналей) к 
и соответственно.
Как мы уже сказали, треугольники и подобны (коэффициент подобия – 
). Тогда с учетом того, что имеем: 
.
Но тогда и 
А также 
(в подобных треугольниках отношение сходственных высот есть коэффициент подобия).
Далее, треугольники 
и 
подобны, коэффициент подобия – 
Тогда
С учетом имеем:
Наконец, 
Ответ: 1,2.
Здравствуйте,Елена Юрьевна.Объясните, пожалуйста,высотами каких треугольников являются LN и PN?
Карина, смотрите:
LN равен высоте треугольника AEF, а PN – высоте ABC. А мы говорили, что коэффициент подобия треугольников AEF и ABC равен k. Тогда и LN:PN=k
Спасибо, красивое и понятное решение