Задание №18 (С4) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

2023-07-22

Смотрите также задания 15, 16, 17, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.

Прямая $p$, параллельная основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$, пересекает прямые $AB$, $AC,$ $BD$, $CD$ в точках $E,$ $F$, $G$ и $H$ соответственно, причём $EF=FG$.

а) Докажите, что точки пересечения прямой $p$ с диагоналями $AC$ и $BD$ делят отрезок $EH$ на три равных части;

б) Найдите $EF$, если $BC=3$, $AD=4$.

Решение: 

а) Треугольники $AEF$ и $ABC$  подобны по I признаку. Пусть коэффициент подобия – $k$.

hg

Аналогично треугольники $DGH$ и $DBC$ подобны. Причем коэффициент подобия – также $k$ (по т. Фалеса $AE:EB=DH:HC$, откуда следует, что и $AE:AB=DH:DC$).

То есть $\frac{EF}{BC}=k$ и $\frac{GH}{BC}=k$, а значит $EF=GH$.

C учетом условия $EF=FG$ имеем: точки пересечения прямой $p$ с диагоналями $AC$ и $BD$ делят отрезок $EH$ на три равных части.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $P,$ $N$, $L$ – основания перпендикуляров из т. О (точки пересечения диагоналей) к $BC,$ $AD$ и $p$ соответственно. 

lk

Как мы уже сказали, треугольники $AEF$ и $ABC$  подобны (коэффициент подобия – $k=\frac{EF}{BC}$). Тогда с учетом того, что $BC=3$ имеем: $EF=3k$.

Но тогда и $GH=FG=3k.$

А также $\frac{LN}{PN}=k$ (в подобных треугольниках отношение сходственных высот есть коэффициент подобия).

Далее, треугольники $EBG$ и $ABD$ подобны, коэффициент подобия  – $\frac{EG}{AD}=\frac{6k}{4}.$

Тогда

$\frac{6k}{4}=\frac{PL}{PN};$

$\frac{3k}{2}=\frac{PN-LN}{PN};$

$\frac{3k}{2}=1-\frac{LN}{PN};$

С учетом $\frac{LN}{PN}=k$ имеем:

$\frac{3k}{2}=1-k;$

$k=\frac{2}{5}.$

Наконец, $EF=3k=1,2.$

Ответ: 1,2.

Печать страницы
комментария 3
  1. Карина

    Здравствуйте,Елена Юрьевна.Объясните, пожалуйста,высотами каких треугольников являются LN и PN?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Карина, смотрите:
      LN равен высоте треугольника AEF, а PN – высоте ABC. А мы говорили, что коэффициент подобия треугольников AEF и ABC равен k. Тогда и LN:PN=k

      [ Ответить ]
  2. Лилия

    Спасибо, красивое и понятное решение

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




десять + десять =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif