Задение №17 Т/Р №113 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20

Решите неравенство $\frac{log_{3-x}\sqrt x}{1-log_{x^2}(3-x)}\leq 1.$

Решение:

 $\frac{\frac{1}{log_{\sqrt x}(3-x)}}{1-\frac{1}{2}log_{|x|}(3-x)}\leq 1;$

$\frac{\frac{1}{2log_x(3-x)}}{1-\frac{1}{2}log_{x}(3-x)}\leq 1;$

$\frac{\frac{1}{log_x(3-x)}-2+log_{x}(3-x)}{2-log_{x}(3-x)}\leq 0;$

$\frac{1-2log_x(3-x)+log^2_{x}(3-x)}{(1-2log_{x}(3-x))log_x(3-x)}\leq 0;$

$\frac{(log_{x}(3-x)-1)^2}{(2-log_{x}(3-x))log_x(3-x)}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей.

$\begin{cases}\frac{(x-1)^2((3-x)-x)^2}{(x-1)^2(x^2+x-3)(3-x-1)}\leq 0;\\x>0,\\x\neq 1,\\3-x\neq 1,\\3-x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{(3-2x)^2}{(x-\frac{\sqrt{13}-1}{2})(x-\frac{-\sqrt{13}-1}{2})(2-x)}\leq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\x\neq 2,\\x<3;&\end{cases}$

Ответ: $(0;1)\cup (1;\frac{\sqrt{13}-1}{2})\cup${$1,5$}$\cup(2;3).$