Задание №17 Т/Р №109 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1).$

Решение:

$log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1);$

$log_2(x^2-8x+6)\geq log_24+log_2\sqrt{2x-1};$

$log_2(x^2-8x+6)\geq log_24\sqrt{2x-1};$

$x^2-8x+6\geq 4\sqrt{2x-1}, x\neq \frac{1}{2};$

Выделяем полные квадраты в каждой части неравенства:

$(x^2-6x+9)-2x-3\geq (2^2+4\sqrt{2x-1}+(2x-1))-4-(2x-1), x\neq \frac{1}{2};$

$(x-3)^2\geq (2+\sqrt{2x-1})^2, x\neq \frac{1}{2};$

Совершим следующий равносильный переход:

$|x-3|\geq |2+\sqrt{2x-1}|, x\neq \frac{1}{2}$

и решим неравенство графически.

Найдем абсциссу точки $A$ (пересечение прямой $y=3-x$ и кривой $y=2+\sqrt{2x-1}$):

$3-x=2+\sqrt{2x-1};$

$1-x=\sqrt{2x-1};$

$1-2x+x^2=2x-1,1-x\geq 0;$

$x^2-4x+2=0, x\leq 1;$

$x=2-\sqrt2.$

Найдем абсциссу точки $B$ (пересечение прямой $y=x-3$ и кривой $y=2+\sqrt{2x-1}$):

$x-3=2+\sqrt{2x-1};$

$x-5=\sqrt{2x-1};$

$x^2-10x+25=2x-1,x-5\geq 0;$

$x^2-12x+26=0, x\geq 5;$

$x=6+\sqrt{10}.$

Итак, $x\in (\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).$

Ответ: $(\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).$