Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.
Решите неравенство
$log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1).$
Решение:
$log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1);$
$log_2(x^2-8x+6)\geq log_24+log_2\sqrt{2x-1};$
$log_2(x^2-8x+6)\geq log_24\sqrt{2x-1};$
$x^2-8x+6\geq 4\sqrt{2x-1}, x\neq \frac{1}{2};$
Выделяем полные квадраты в каждой части неравенства:
$(x^2-6x+9)-2x-3\geq (2^2+4\sqrt{2x-1}+(2x-1))-4-(2x-1), x\neq \frac{1}{2};$
$(x-3)^2\geq (2+\sqrt{2x-1})^2, x\neq \frac{1}{2};$
Совершим следующий равносильный переход:
$|x-3|\geq |2+\sqrt{2x-1}|, x\neq \frac{1}{2}$
и решим неравенство графически.
Найдем абсциссу точки $A$ (пересечение прямой $y=3-x$ и кривой $y=2+\sqrt{2x-1}$):
$3-x=2+\sqrt{2x-1};$
$1-x=\sqrt{2x-1};$
$1-2x+x^2=2x-1,1-x\geq 0;$
$x^2-4x+2=0, x\leq 1;$
$x=2-\sqrt2.$
Найдем абсциссу точки $B$ (пересечение прямой $y=x-3$ и кривой $y=2+\sqrt{2x-1}$):
$x-3=2+\sqrt{2x-1};$
$x-5=\sqrt{2x-1};$
$x^2-10x+25=2x-1,x-5\geq 0;$
$x^2-12x+26=0, x\geq 5;$
$x=6+\sqrt{10}.$
Итак, $x\in (\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).$
Ответ: $(\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).$
Никогда бы не догадался до выделения полного квадрата.. Спасибо!
А почему вы не учитываете условие ОДЗ для первого логарифма? Потому что, получается, что она больше корня => автоматически больше нуля?
Именно!
Да, действия – не самые очевидные…
Но от безвыходности приходится видеть полный квадрат…