Задание №17 Т/Р №109 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство

log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1).

Решение:

log_2(x^2-8x+6)\geq 2+\frac{1}{2}log_2(2x-1);

log_2(x^2-8x+6)\geq log_24+log_2\sqrt{2x-1};

log_2(x^2-8x+6)\geq log_24\sqrt{2x-1};

x^2-8x+6\geq 4\sqrt{2x-1}, x\neq \frac{1}{2};

Выделяем полные квадраты в каждой части неравенства:

(x^2-6x+9)-2x-3\geq (2^2+4\sqrt{2x-1}+(2x-1))-4-(2x-1), x\neq \frac{1}{2};

(x-3)^2\geq (2+\sqrt{2x-1})^2, x\neq \frac{1}{2};

Совершим следующий равносильный переход:

|x-3|\geq |2+\sqrt{2x-1}|, x\neq \frac{1}{2}

и решим неравенство графически.

Найдем абсциссу точки A (пересечение прямой y=3-x и кривой y=2+\sqrt{2x-1}):

3-x=2+\sqrt{2x-1};

1-x=\sqrt{2x-1};

1-2x+x^2=2x-1,1-x\geq 0;

x^2-4x+2=0, x\leq 1;

x=2-\sqrt2.

Найдем абсциссу точки B (пересечение прямой y=x-3 и кривой y=2+\sqrt{2x-1}):

x-3=2+\sqrt{2x-1};

x-5=\sqrt{2x-1};

x^2-10x+25=2x-1,x-5\geq 0;

x^2-12x+26=0, x\geq 5;

x=6+\sqrt{10}.

Итак, x\in (\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).

Ответ: (\frac{1}{2};2-\sqrt2]\cup [6+\sqrt{10};+\infty).

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. Дима

    Никогда бы не догадался до выделения полного квадрата.. Спасибо!

    [ Ответить ]
    • Дима

      А почему вы не учитываете условие ОДЗ для первого логарифма? Потому что, получается, что она больше корня => автоматически больше нуля?

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Именно!

        [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, действия – не самые очевидные…
      Но от безвыходности приходится видеть полный квадрат…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif