Задание №20 Т/Р №113 А. Ларина

2023-07-07

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений системы

$\begin{cases}x^2+(a+4)x+4a\leq y,\\3x+y-(2a+4)\leq 0;&\end{cases}$

содержит отрезок $AB$, где $A(-2;0),$ $B(-1;0).$

Решение:

$\begin{cases}y\geq x^2+(a+4)x+4a,\\y\leq -3x+2a+4;&\end{cases}$

Случай, когда парабола $y=x^2+(a+4)x+4a$ и прямая $y=-3x+2a+4$ не имеют общих точек (или касаются), не представляет интереса.

ukl

Пусть $f(x)=x^2+(a+4)x+4a.$

Заметим, абсцисса точки пересечения прямой $y=-3x+2a+4$ с осью абсцисс – $\frac{2a+4}{3}.$

Для того, чтобы множество решений исходной системы содержало отрезок $AB$, потребуем:

$\begin{cases}f(-2)\leq 0,\\f(-1)\leq 0,\\\frac{2a+4}{3}\geq -1;&\end{cases}$

$\begin{cases}a-2(a+4)+4a\leq 0,\\1-a-4+4a\leq 0,\\2a+4\geq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}a\leq 4,\\a\leq 1,\\a\geq -3,5;&\end{cases}$

$-3,5\leq x\leq 1.$

Ответ: $[-3,5;1].$

Печать страницы
комментариев 7
  1. Дима

    Полезно заметить, что f(x) проходит через точку (-4;0). Тогда не нужно условие f(-2)>0, которое в результате ничего не дало.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Можно и так, конечно… То на то и выходит…

      [ Ответить ]
  2. Алексей

    Простите, я немного не понимаю зачем мы задаём условия:
    f(-2)<=0;
    f(-1)=-1;
    Я просто не понимаю каким именно образом все это работает.

    [ Ответить ]
    • Алексей

      Первая ваша система условия.

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Алексей, вам следует нарисовать различные варианты расположения отрезка AB по отношению к синей выделенной зоне. Нарисуйте ситуацию, когда точка А – вне ее, когда точка В – вне, когда обе точки – вне. И тогда посмотрите, какими будут f(-2), f(-1) каждый раз.

      [ Ответить ]
      • алексей

        вы имеете в виду сдвигать эту синюю область?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Не область, а отрезок AB.

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




3 + 16 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif