Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19 Т/Р №181 А. Ларина

26 Янв 2017

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №181 А. Ларина

Елена Репина 2017-01-26 2017-02-02

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №181 А. Ларина

19. a) Найти натуральное число $n$ такое, чтобы сумма $1+2+3+...+n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна $1$ , а сумма кубов этих чисел равна $0,1$ . Найти эти числа.

Решение:

a) Пусть трехзначное число состоит из (одинаковых, согласно условию) цифр $a$ ( $a\neq 0$ ).

Тогда, с учетом $1+2+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot n,$ имеем:

$\frac{1+n}{2}\cdot n=\overline{aaa};$

$(1+n)n=2\cdot \overline{aaa}.$

Так как

$2\cdot \overline{aaa}=2\cdot (100a+10a+a)=2a(100+10+1)=222a=6a\cdot 37,$

то понимаем, что один из множителей $n$ , $n+1$ делится на $37.$

При этом, очевидно, $1998\geq n(n+1)\geq n^2,$ то есть $n\leq 44.$

Число $2\cdot \overline{666}=36(36+1)$ представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.

Итак,

$1+2+...+36=666.$

б) Пусть $a-d;a;a+d;a+2d$ – четыре числа, составляющих арифметическую прогрессию ( $d$ – разность арифметической прогрессии).

Согласно условию

$a-d+a+a+d+a+2d=1$

$(a-d)^3+a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3=0,1.$

Решим систему:

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &((a-d)^3+(a+2d)^3)+(a^3+(a+d)^3)=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &(2a+d)((a-d)^2-(a-d)(a+2d)+(a+2d)^2)+(2a+d)(a^2-a(a+d)+(a+d)^2)=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &(2a+d)(2a^2+8d^2+2ad)=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &(4a+2d)(a^2+4d^2+ad)=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &a^2+4d^2+ad=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &a^2+4(0,5-2a)^2+a(0,5-2a)=0,1; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &50a^2-25a=3=0; \end{cases}$

$\begin{cases} 4a+2d=1,& &(a-0,2)(a-0,3)=0; \end{cases}$

Если $a=0,2,$ то $d=0,1.$

Если $a=0,3,$ то $d=-0,1.$

Итак, $0,1;0,2;0,3;0,4$ – искомая последовательность чисел.

Ответ: а) $36;$ б) $0,1;0,2;0,3;0,4.$

Автор: egeMax | комментария 2

комментария 2