Задание №19 Т/Р №181 А. Ларина

2017-02-02

Смотрите также №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

19. a) Найти натуральное число n такое, чтобы сумма 1+2+3+...+n равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Решение:

a) Пусть трехзначное число состоит из (одинаковых, согласно условию) цифр a (a\neq 0).

Тогда, с учетом 1+2+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot n, имеем:

\frac{1+n}{2}\cdot n=\overline{aaa};

(1+n)n=2\cdot \overline{aaa}.

Так как

 2\cdot \overline{aaa}=2\cdot (100a+10a+a)=2a(100+10+1)=222a=6a\cdot 37,

то понимаем, что один из множителей n, n+1 делится на 37.

При этом, очевидно, 1998\geq n(n+1)\geq n^2, то есть n\leq 44.

Число 2\cdot \overline{666}=36(36+1) представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.

Итак,

1+2+...+36=666.

б) Пусть a-d;a;a+d;a+2d – четыре числа, составляющих арифметическую прогрессию (d – разность арифметической прогрессии).

Согласно условию

a-d+a+a+d+a+2d=1

и

(a-d)^3+a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3=0,1.

Решим систему:

\begin{cases} 4a+2d=1,& &((a-d)^3+(a+2d)^3)+(a^3+(a+d)^3)=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &(2a+d)((a-d)^2-(a-d)(a+2d)+(a+2d)^2)+(2a+d)(a^2-a(a+d)+(a+d)^2)=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &(2a+d)(2a^2+8d^2+2ad)=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &(4a+2d)(a^2+4d^2+ad)=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &a^2+4d^2+ad=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &a^2+4(0,5-2a)^2+a(0,5-2a)=0,1; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &50a^2-25a=3=0; \end{cases}

\begin{cases} 4a+2d=1,& &(a-0,2)(a-0,3)=0; \end{cases}

Если a=0,2, то d=0,1.

Если a=0,3, то d=-0,1.

Итак, 0,1;0,2;0,3;0,4 – искомая последовательность чисел.

Ответ: а) 36; б) 0,1;0,2;0,3;0,4.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Мария

    Здравствуйте!
    В ответ под а) следует указать 37, т.к. спрашивается найти n

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, да, конечно, не 666 идет в ответ.
      Подправила. Спасибо!
      Только не 37, а 36!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif