Задание №19 Т/Р №181 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

19. a) Найти натуральное число $n$ такое, чтобы сумма $1+2+3+…+n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна $1$, а сумма кубов этих чисел равна $0,1$. Найти эти числа.

Решение:

a) Пусть трехзначное число состоит из (одинаковых, согласно условию) цифр $a$ ($a\neq 0$).

Тогда, с учетом $1+2+…+n=\frac{1+n}{2}\cdot n,$ имеем:

$\frac{1+n}{2}\cdot n=\overline{aaa};$

$(1+n)n=2\cdot \overline{aaa}.$

Так как

 $2\cdot \overline{aaa}=2\cdot (100a+10a+a)=2a(100+10+1)=222a=6a\cdot 37,$

то понимаем, что один из множителей $n$, $n+1$ делится на $37.$

При этом, очевидно, $1998\geq n(n+1)\geq n^2,$ то есть $n\leq 44.$

Число $2\cdot \overline{666}=36(36+1)$ представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.

Итак,

$1+2+…+36=666.$

б) Пусть $a-d;a;a+d;a+2d$ – четыре числа, составляющих арифметическую прогрессию ($d$ – разность арифметической прогрессии).

Согласно условию

$a-d+a+a+d+a+2d=1$

и

$(a-d)^3+a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3=0,1.$

Решим систему:

$\begin{cases}4a+2d=1,\\((a-d)^3+(a+2d)^3)+(a^3+(a+d)^3)=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\(2a+d)((a-d)^2-(a-d)(a+2d)+(a+2d)^2)+(2a+d)(a^2-a(a+d)+(a+d)^2)=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\(2a+d)(2a^2+8d^2+2ad)=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\(4a+2d)(a^2+4d^2+ad)=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\a^2+4d^2+ad=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\a^2+4(0,5-2a)^2+a(0,5-2a)=0,1;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\50a^2-25a=3=0;&\end{cases}$

$\begin{cases}4a+2d=1,\\(a-0,2)(a-0,3)=0;&\end{cases}$

Если $a=0,2,$ то $d=0,1.$

Если $a=0,3,$ то $d=-0,1.$

Итак, $0,1;0,2;0,3;0,4$ – искомая последовательность чисел.

Ответ: а) $36;$ б) $0,1;0,2;0,3;0,4.$