Задание №18 Т/Р №181 А. Ларина

2017-01-24

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

18. При каких положительных значениях параметра a уравнение ||2x|-4|=|x^2-a|

имеет ровно 4 решения?

Решение:

 Согласно методу замены множителей данное уравнение

||2x|-4|=|x^2-a|

равносильно следующему:

(|2x|-4-(x^2-a))(|2x|-4+(x^2-a))=0.

Далее имеем:

(x^2+2|x|-4-a)(x^2-2|x|+4-a)=0;

(|x|^2+2|x|-4-a)(|x|^2-2|x|+4-a)=0;

((|x|^2+2|x|+1)-5-a)((|x|^2-2|x|+1)+3-a)=0;

((|x|+1)^2-(5+a))((|x|-1)^2-(a-3))=0.

Так как a>0, то

((|x|+1)-\sqrt{5+a})((|x|+1)+\sqrt{5+a})((|x|-1)^2-(a-3))=0.

Вторая скобка уравнения никогда не обращается в ноль. Можно перейти к равносильному уравнению:

(|x|-(\sqrt{5+a}-1))((|x|-1)^2-(a-3))=0.

Первая скобка уравнения при a>0 обращается в ноль при двух различных значениях переменной x.

Соответственно, нам нужно позаботиться о том, чтобы вторая скобка “выдавала” нам два решения, отличных от решений первой скобки, либо “выдавала” четыре решения, два из которых совпадают с нулями первой скобки.

1) При 0<a<3 нулей во второй скобке нет. Данные значения a нам не интересны.

2) При a=3 нули второй скобки – это \pm 1. Нули первой – \pm (\sqrt 8-1). Значение a=3 нам подходит.

3) При a>3 имеем:

(|x|-(\sqrt{5+a}-1))(|x|-(1+\sqrt{a-3}))(|x|-(1-\sqrt{a-3}))=0.

Вторая скобка при указанных a “выдает” неизменно два решения.

Совпадают ли они с решениями первой? Такое возможно при  a=4, в чем несложно убедиться. Более того, при a=4 в третьей скобке последнего равенства – одно решение.

Значение a=4 нас не интересует.

Остается потребовать, чтобы в третьей скобке не было бы нулей. Это достигается при 1-\sqrt{a-3}<0, то есть при a>4.

Итак, исходное уравнение имеет четыре решения при a\in{3}\cup (4;+\infty).

Ответ: {3}\cup (4;+\infty).

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif