Задание №18 Т/Р №181 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

18. При каких положительных значениях параметра $a$ уравнение $||2x|-4|=|x^2-a|$

имеет ровно $4$ решения?

Решение:

 Согласно методу замены множителей данное уравнение

$||2x|-4|=|x^2-a|$

равносильно следующему:

$(|2x|-4-(x^2-a))(|2x|-4+(x^2-a))=0.$

Далее имеем:

$(x^2+2|x|-4-a)(x^2-2|x|+4-a)=0;$

$(|x|^2+2|x|-4-a)(|x|^2-2|x|+4-a)=0;$

$((|x|^2+2|x|+1)-5-a)((|x|^2-2|x|+1)+3-a)=0;$

$((|x|+1)^2-(5+a))((|x|-1)^2-(a-3))=0.$

Так как $a>0,$ то

$((|x|+1)-\sqrt{5+a})((|x|+1)+\sqrt{5+a})((|x|-1)^2-(a-3))=0.$

Вторая скобка уравнения никогда не обращается в ноль. Можно перейти к равносильному уравнению:

$(|x|-(\sqrt{5+a}-1))((|x|-1)^2-(a-3))=0.$

Первая скобка уравнения при $a>0$ обращается в ноль при двух различных значениях переменной $x$.

Соответственно, нам нужно позаботиться о том, чтобы вторая скобка “выдавала” нам два решения, отличных от решений первой скобки, либо “выдавала” четыре решения, два из которых совпадают с нулями первой скобки.

1) При $0<a<3$ нулей во второй скобке нет. Данные значения $a$ нам не интересны.

2) При $a=3$ нули второй скобки – это $\pm 1.$ Нули первой – $\pm (\sqrt 8-1).$ Значение $a=3$ нам подходит.

3) При $a>3$ имеем:

$(|x|-(\sqrt{5+a}-1))(|x|-(1+\sqrt{a-3}))(|x|-(1-\sqrt{a-3}))=0.$

Вторая скобка при указанных $a$ “выдает” неизменно два решения.

Совпадают ли они с решениями первой? Такое возможно при  $a=4,$ в чем несложно убедиться. Более того, при $a=4$ в третьей скобке последнего равенства – одно решение.

Значение $a=4$ нас не интересует.

Остается потребовать, чтобы в третьей скобке не было бы нулей. Это достигается при $1-\sqrt{a-3}<0,$ то есть при $a>4.$

Итак, исходное уравнение имеет четыре решения при $a\in$\{3\}\cup (4;+\infty).$

Ответ: $\{3\}\cup (4;+\infty).$