Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №21.

Разбор задания №20 одного из вариантов

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,\\x+2y=a;&\end{cases}$

имеет более двух решений.

Решение:

$\begin{cases}x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}2x-y-10\geq 0,\\x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40;\end{cases}\\\begin{cases}2x-y-10< 0,\\x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40;\end{cases}\end{array}\right.\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}y\leq 2x-10,\\x^2-16x+y^2+8y+55=0;\end{cases}\\\begin{cases}y>2x-10,\\x^2+y^2-25=0;\end{cases}\end{array}\right.\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}y\leq 2x-10,\\(x-8)^2+(y+4)^2=25;\end{cases}\\\begin{cases}y>2x-10,\\x^2+y^2-25=0;\end{cases}\end{array}\right.\\y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2};&\end{cases}$

При расположении прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ в зоне, помеченной на рис. синим цветом (открытая граница зоны помечена пунктиром), исходная система имеет более 2-х решений.

Заметим,  центры  окружностей  $(x-8)^2+(y+4)^2=25$, $x^2+y^2=25$, (с одинаковыми радиусами) лежат на прямой, имеющей такой же угловой коэффициент ($-\frac{1}{2}$), как и у прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$, то есть если происходит касание одной из окружностей с прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$, то касание произойдет и со второй окружностью.

Заметим также, что $y=-\frac{x}{2}$ – ось симметрии для графика, отвечающего первой строке системы.

1) Найдем $a$, отвечающее за  касание прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ и окружности $x^2+y^2=25.$

Для этого потребуем, чтобы

$D=0$ для $x^2+(-\frac{x}{2}+\frac{a}{2})^2=25.$

Для   $5x^2-2ax+a^2-100=0$   $D/4=a^2-5(a^2-100).$

Поэтому  из  уравнения $500-4a^2=0$ получаем: $a=\pm 5\sqrt5.$

2) Значения $a$, отвечающие за прохождение прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ через точки пересечения окружностей $(5;0)$, $(3;-4)$ таковы: $a=\pm 5$.

Итак, подходящие нам значения параметра: $a\in (-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$

Ответ: $(-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$