Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2023-07-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №21.

Разбор задания №20 одного из вариантов

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,\\x+2y=a;&\end{cases}$

имеет более двух решений.

Решение:

$\begin{cases}x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}2x-y-10\geq 0,\\x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40;\end{cases}\\\begin{cases}2x-y-10< 0,\\x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40;\end{cases}\end{array}\right.\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}y\leq 2x-10,\\x^2-16x+y^2+8y+55=0;\end{cases}\\\begin{cases}y>2x-10,\\x^2+y^2-25=0;\end{cases}\end{array}\right.\\x+2y=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}y\leq 2x-10,\\(x-8)^2+(y+4)^2=25;\end{cases}\\\begin{cases}y>2x-10,\\x^2+y^2-25=0;\end{cases}\end{array}\right.\\y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2};&\end{cases}$

ui

При расположении прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ в зоне, помеченной на рис. синим цветом (открытая граница зоны помечена пунктиром), исходная система имеет более 2-х решений.

Заметим,  центры  окружностей  $(x-8)^2+(y+4)^2=25$, $x^2+y^2=25$, (с одинаковыми радиусами) лежат на прямой, имеющей такой же угловой коэффициент ($-\frac{1}{2}$), как и у прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$, то есть если происходит касание одной из окружностей с прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$, то касание произойдет и со второй окружностью.

Заметим также, что $y=-\frac{x}{2}$ – ось симметрии для графика, отвечающего первой строке системы.

1) Найдем $a$, отвечающее за  касание прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ и окружности $x^2+y^2=25.$

Для этого потребуем, чтобы

$D=0$ для $x^2+(-\frac{x}{2}+\frac{a}{2})^2=25.$

Для   $5x^2-2ax+a^2-100=0$   $D/4=a^2-5(a^2-100).$

Поэтому  из  уравнения $500-4a^2=0$ получаем: $a=\pm 5\sqrt5.$

2) Значения $a$, отвечающие за прохождение прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ через точки пересечения окружностей $(5;0)$, $(3;-4)$ таковы: $a=\pm 5$.

Итак, подходящие нам значения параметра: $a\in (-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$

Ответ: $(-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$

Печать страницы
комментариев 5
  1. Мария

    Спасибо! Понятно и наглядно

    [ Ответить ]
  2. Макс

    А почему область (-5;5)не учитывалась?В этой области более двух решений или я путаю?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ваша область частично входит в ответ… Почему же не учитывалась?

      [ Ответить ]
  3. Александра

    Добрый день!Почему мы требуем, чтобы дискриминант был равен 0 при подстановке?Спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Прямая и окружность могут
      – не пересекаться
      – иметь две общие точки
      – иметь одну общую точку (касаться)
      Если кратко, то когда диск. равен нулю (один корень), имеем одно решение ––> касание

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




20 − один =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif