Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

05 Июн 2015

Категория: 17 (С6) Параметры*ЕГЭ (диагностич. работы)Параметр

Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Елена Репина 2015-06-05 2016-08-25

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №21.

Разбор задания №20 одного из вариантов

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,& &x+2y=a;& \end{cases}$

имеет более двух решений.

Решение:

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} 2x-y-10\geq 0,& &x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40;& \end{cases}& \begin{cases} 2x-y-10< 0,& &x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &x+2y=a;& \end{cases}&$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq 2x-10,& &x^2-16x+y^2+8y+55=0;& \end{cases}& \begin{cases} y>2x-10,& &x^2+y^2-25=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &x+2y=a;& \end{cases}&$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq 2x-10,& &(x-8)^2+(y+4)^2=25;& \end{cases}& \begin{cases} y>2x-10,& &x^2+y^2=25;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2};& \end{cases}&$

При расположении прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ в зоне, помеченной на рис. синим цветом (открытая граница зоны помечена пунктиром), исходная система имеет более 2-х решений.

Заметим, центры окружностей $(x-8)^2+(y+4)^2=25$ , $x^2+y^2=25$ , (с одинаковыми радиусами) лежат на прямой, имеющей такой же угловой коэффициент ( $-\frac{1}{2}$ ), как и у прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ , то есть если происходит касание одной из окружностей с прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ , то касание произойдет и со второй окружностью.

Заметим также, что $y=-\frac{x}{2}$ – ось симметрии для графика, отвечающего первой строке системы.

1) Найдем $a$ , отвечающее за касание прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ и окружности $x^2+y^2=25.$

Для этого потребуем, чтобы

$D=0$ для $x^2+(-\frac{x}{2}+\frac{a}{2})^2=25.$

Для $5x^2-2ax+a^2-100=0$ $D/4=a^2-5(a^2-100).$

Поэтому из уравнения $500-4a^2=0$ получаем: $a=\pm 5\sqrt5.$

2) Значения $a$ , отвечающие за прохождение прямой $y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}$ через точки пересечения окружностей $(5;0)$ , $(3;-4)$ таковы: $a=\pm 5$ .

Итак, подходящие нам значения параметра: $a\in (-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$

Ответ: $(-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).$

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Мария

2015-08-27 в 12:02

Спасибо! Понятно и наглядно

[ Ответить ]
Макс

2016-03-28 в 17:11

А почему область (-5;5)не учитывалась?В этой области более двух решений или я путаю?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-28 в 21:10
  
  Ваша область частично входит в ответ… Почему же не учитывалась?
  
  [ Ответить ]
Александра

2016-05-31 в 11:53

Добрый день!Почему мы требуем, чтобы дискриминант был равен 0 при подстановке?Спасибо!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-05-31 в 14:53
  
  Прямая и окружность могут
  – не пересекаться
  – иметь две общие точки
  – иметь одну общую точку (касаться)
  Если кратко, то когда диск. равен нулю (один корень), имеем одно решение ––> касание
  
  [ Ответить ]

Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Разбор задания №20 одного из вариантов

Добавить комментарий Отменить ответ