Задание №20 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2016-08-25

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №21.

Разбор задания №20 одного из вариантов

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} x^2-8x+y^2+4y+15=4|2x-y-10|,& &x+2y=a;& \end{cases}

имеет более двух решений.

Решение:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} 2x-y-10\geq 0,& &x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40;& \end{cases}& \begin{cases} 2x-y-10< 0,& &x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &x+2y=a;& \end{cases}&

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq 2x-10,& &x^2-16x+y^2+8y+55=0;& \end{cases}& \begin{cases} y>2x-10,& &x^2+y^2-25=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &x+2y=a;& \end{cases}&

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq 2x-10,& &(x-8)^2+(y+4)^2=25;& \end{cases}& \begin{cases} y>2x-10,& &x^2+y^2=25;& \end{cases}& \end{gathered}\right& &y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2};& \end{cases}&

При расположении прямой y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2} в зоне, помеченной на рис. синим цветом (открытая граница зоны помечена пунктиром), исходная система имеет более 2-х решений.

Заметим,  центры  окружностей  (x-8)^2+(y+4)^2=25, x^2+y^2=25, (с одинаковыми радиусами) лежат на прямой, имеющей такой же угловой коэффициент (-\frac{1}{2}), как и у прямой y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}, то есть если происходит касание одной из окружностей с прямой y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2}, то касание произойдет и со второй окружностью.

Заметим также, что y=-\frac{x}{2} – ось симметрии для графика, отвечающего первой строке системы.

1) Найдем a, отвечающее за  касание прямой y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2} и окружности x^2+y^2=25.

Для этого потребуем, чтобы

D=0 для x^2+(-\frac{x}{2}+\frac{a}{2})^2=25.

Для   5x^2-2ax+a^2-100=0   D/4=a^2-5(a^2-100).

Поэтому  из  уравнения 500-4a^2=0 получаем: a=\pm 5\sqrt5.

2) Значения a, отвечающие за прохождение прямой y=-\frac{x}{2}+\frac{a}{2} через точки пересечения окружностей (5;0), (3;-4) таковы: a=\pm 5.

Итак, подходящие нам значения параметра: a\in (-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).

Ответ: (-5\sqrt5;-5]\cup [5;5\sqrt5).

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Мария

    Спасибо! Понятно и наглядно

    [ Ответить ]
  2. Макс

    А почему область (-5;5)не учитывалась?В этой области более двух решений или я путаю?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ваша область частично входит в ответ… Почему же не учитывалась?

      [ Ответить ]
  3. Александра

    Добрый день!Почему мы требуем, чтобы дискриминант был равен 0 при подстановке?Спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Прямая и окружность могут
      – не пересекаться
      – иметь две общие точки
      – иметь одну общую точку (касаться)
      Если кратко, то когда диск. равен нулю (один корень), имеем одно решение ––> касание

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif