Задание №18. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №19

18. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{x^2-2x+a^2-4a}{x^2-a}=0$

имеет ровно два различных решения? Видеорешение New*

Решение:

$\begin{cases}
x^2-2x+a^2-4a=0,\\
x^2-a\neq 0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2-2x+1+a^2-4a+4=5,\\
a\neq x^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
(x-1)^2+(a-2)^2=5,\\
a\neq x^2;
\end{cases}$

Работаем в системе координат $(xa).$

Парабола $a=x^2$  “выкалывает” на  окружности $(x-1)^2+(a-2)^2=5$ с радиусом $\sqrt5 $, центром $(1;2)$ три точки.

Действительно,

$\begin{cases}
(x-1)^2+(x^2-2)^2=5,\\
a=x^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2-2x+x^4-4x^2=0,\\
a=x^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x(x-2)+x^2(x-2)(x+2)=0,\\
a=x^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x(x-2)(x+1)^2=0,\\
a=x^2;
\end{cases}$

Решения системы – $(0;0), (2;4), (-1;1).$

Итак, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

$a\in (2-\sqrt5;0)\cup (0;1)\cup (1;4)\cup (4;2+\sqrt5).$

Ответ: $(2-\sqrt5;0)\cup (0;1)\cup (1;4)\cup (4;2+\sqrt5).$

Есть похожее видео