Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №194 А. Ларина.
15. Решите неравенство $\large 2^{1+2x-x^2}-3\geq \frac{3}{2^{2x-x^2}-2}.$
Решение:
$\large 2^{1+2x-x^2}-3\geq \frac{3}{2^{2x-x^2}-2};$
$\large \frac{2^{1+2x-x^2}(2^{2x-x^2}-2)-3(2^{2x-x^2}-2)-3}{2^{2x-x^2}-2}\geq 0;$
$\large \frac{2\cdot (2^{2x-x^2})^2-4\cdot 2^{2x-x^2} -3\cdot 2^{2x-x^2}+6-3}{2^{2x-x^2}-2}\geq 0;$
$\large \frac{2\cdot (2^{2x-x^2})^2-7\cdot 2^{2x-x^2}+3}{2^{2x-x^2}-2}\geq 0.$
В числителе – квадратный трехчлен относительно $2^{2x-x^2}.$ Представляем числитель в виде произведения при помощи дискриминанта.
$\large \frac{2(2^{2x-x^2}-3)(2^{2x-x^2}-\frac{1}{2})}{2^{2x-x^2}-2}\geq 0.$
Готовимся к замене множителей (методу рационализации):
$\large \frac{(2^{2x-x^2}-2^{log_23})(2^{2x-x^2}-2^{-1})}{2^{2x-x^2}-2^1}\geq 0;$
$\large \frac{(2x-x^2-log_23)(2x-x^2+1)}{2x-x^2-1}\geq 0;$
$\large \frac{(x^2-2x+log_23)(x^2-2x-1)}{x^2-2x+1}\leq 0.$
Квадратный трехчлен $x^2-2x+log_23$ положителен при любых значених $x.$
Переходим к равносильному неравенству:
$\large \frac{(x-(1-\sqrt2))(x-(1+\sqrt2))}{(x-1)^2}\leq 0.$
$x\in [1-\sqrt2;1)\cup (1;1+\sqrt2].$
Ответ: $[1-\sqrt2;1)\cup (1;1+\sqrt2].$
Добавить комментарий