Задание №19 Т/Р №205 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

19. Четырехзначное число $A$ содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число $B$ записано теми же цифрами, но в обратном порядке.

а) Найдите наибольшее значение выражения $A-B$.

б) Найдите наименьшее значение выражения $A-B$.

в) Найдите числа $A$ и $B$, для которых значение выражения $\frac{A}{B}$ будет наименьшим.

Решение:

Пусть $A=\overline{abcd},B=\overline{dcba},$ где $a,b,c,d \in \left \{ 1;2;…;9 \right \}$ и $a\neq b\neq c\neq d$.

По условию $A>B,$ потому $d<a\leq 9.$

a)

$A-B=1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=$

$=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-d)+d-a=999a-999d+90b-90c=$

$=999(a-d)+90(b-c).$

Наибольшее значение $A-B$ при различных ненулевых $a,b,c$ и $d$ примет, очевидно, если

$a=9,d=1,b=8,c=2.$

Наибольшее значение выражения $A-B$ таким образом – $8532$.

б)

$A-B=999(a-d)+90(b-c).$

Для того, чтобы $A-B$ принимало  наименьшее значение, следует подобрать числа $a$ и $d$ так, чтобы $a-d=1$ и при этом $b-c$ – наименьшее из возможных значений (то есть $b=1,c=9$).

Тогда $A-B=999-720=279.$

На роль $A(B)$  могут подойти в этом случае числа $3192(2913),4193(3914),…,8197(7918).$

в)

$\frac{A}{B}=1+\frac{A-B}{B}.$

Как мы уже замечали (пункт б), наименьшее значение разности $A-B$ – это $279.$

Наименьшее значение разности $A$ и $B$ достигается, если числа $a$ и $d$ таковы, что $a-d=1$ и при этом $b=1,c=9$. Наибольшее подходящее $B$ под это условие – это $7918$.

Покажем, что значение $\frac{A}{B}$ не может принимать значение, меньшее $1+\frac{279}{7918}.$

Пусть $B>7918.$

1) $8129\leq B\leq 8769$ (учли, что $d<a\leq 9$).

Тогда

$A-B=999(a-d)+90(b-c)\geq 999+90(1-7)=459.$

$\frac{A}{B}\geq 1+\frac{459}{\overline{8769}}>1+\frac{279}{7918}.$

2) $7918<B\leq 79b8,$ $b\in \left \{ 2;…;6 \right\}$.

Тогда

$A-B=999(a-d)+90(b-c)\geq 999+90(2-9)=369.$

$\frac{A}{B}\geq 1+\frac{369}{\overline{7928}}>1+\frac{279}{7918}.$

Итак,

$B=7918.$

Ответ: а) $8532;$ б) $279;$ в) $8197, 7918.$