Задание №16 Тренировочной работы №120+ А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Дмитрий для тренировок купил три одинаковых футбольных мяча радиусом 12 каждый, а еще один маленький мячик ему дали в подарок. Придя домой, Дмитрий выложил все мячи на пол и неожиданно обнаружил, что когда футбольные мячи попарно касаются друг друга, то маленький мячик касается всех трех футбольных. Найдите радиус маленького мячика.

Решение:

Пусть O_1,O_2,O_3 – центры больших мячей (касающихся попарно).

Очевидно, коль шары имеют радиус 12,    O_1O_2=O_1O_3=O_2O_3=24.

Пусть O_4 – центр малого шара, касающегося всех трех больших. Пусть его радиус – r.

Очевидно, O_1O_4=12+r.

Пусть A,P – проекции O_1,O_4 на пол.

O_1O_4PA – прямоугольная трапеция.

Заметим, O_4P=r, O_1A=12.  А также заметим, что AP=8\sqrt3 (как 2/3 высоты (медианы) правильного треугольника со стороной 24).

Наконец, опустим высоту из точки O_4 трапеции на основание AO_1.

К полученному  треугольнику применяем теорему Пифагора:

(12+r)^2=(12-r)^2+(8\sqrt3)^2;

(12+r-12+r)(12+r+12-r)=64\cdot 3;

48r=64\cdot 3;

r=4.

Ответ: 4.

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Дима

    Большое Вам спасибо!!
    Если замена изначального имени на моё является отсылкой ко мне, то еще раз спасибо за поднятое перед экзаменов настроение! Спасибо:D

    [ Ответить ]
    • egeMax

      :) :) :) Дима, удачи!!!

      [ Ответить ]
      • Дима

        Простите, что так поздно..
        В общем, к математике я готовился больше всего (да и из 3-х предметов я её лучше всего знаю), а написал хуже всего:((
        Русский – 87
        Математика – 74
        Физика – 80
        Сумма: 241
        _______________
        Уверен, что без проблем поступлю туда, куда хотел (спб). Так что суммой доволен. Но за математику до сих пор обидно..
        Надеюсь, Вам интересна эта информация:)

        И огромное Вам спасибо за Ваши красивые записи, всё всегда по полочкам (как я люблю). И большущее спасибо за то, что оперативно отвечаете на вопросы даже к самым старым записям, это очень удобно, а то быввет так, что забываешь в чем был собственно вопрос. В общем, лучше решений заданий Ларина я нигде не нашел. Я был очень рад, когда наткнулся на Ваш сайт. Спасибо! :)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Дима, поздравляю, – достойные баллы! Самое главное, что удается поступить туда, куда хочется! Спасибо, что поделился результатами, – всегда радостно получать обратную связь. Спасибо за теплые слова. В ДОБРЫЙ ПУТЬ!!! :) :) :)

          [ Ответить ]
          • Дима

            Вечер добрый)
            Подумал, что нужно сказать Вам о том, куда поступил. В общем, как я и думал, я поступил туда, куда хотел: СПбПУ на теплоэнергетику и теплотехнику:) В понедельник поеду в Питер на поезде
            Еще раз спасибо)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Дим, здорово, что случилось так, как хотелось! А ты сам откуда?
            Новый город, новые приключения, новая жизнь! Здорово! Успеха!!!

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif