В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Дмитрий для тренировок купил три одинаковых футбольных мяча радиусом 12 каждый, а еще один маленький мячик ему дали в подарок. Придя домой, Дмитрий выложил все мячи на пол и неожиданно обнаружил, что когда футбольные мячи попарно касаются друг друга, то маленький мячик касается всех трех футбольных. Найдите радиус маленького мячика.
Решение:
Пусть $O_1,O_2,O_3$ – центры больших мячей (касающихся попарно).
Очевидно, коль шары имеют радиус 12, $O_1O_2=O_1O_3=O_2O_3=24.$
Пусть $O_4$ – центр малого шара, касающегося всех трех больших. Пусть его радиус – $r$.
Очевидно, $O_1O_4=12+r.$
Пусть $A,P$ – проекции $O_1,O_4$ на пол.
$O_1O_4PA$ – прямоугольная трапеция.
Заметим, $O_4P=r,$ $O_1A=12.$ А также заметим, что $AP=8\sqrt3$ (как 2/3 высоты (медианы) правильного треугольника со стороной $24$).
Наконец, опустим высоту из точки $O_4$ трапеции на основание $AO_1.$
К полученному треугольнику применяем теорему Пифагора:
$(12+r)^2=(12-r)^2+(8\sqrt3)^2;$
$(12+r-12+r)(12+r+12-r)=64\cdot 3;$
$48r=64\cdot 3;$
$r=4.$
Ответ: 4.
Большое Вам спасибо!!
Если замена изначального имени на моё является отсылкой ко мне, то еще раз спасибо за поднятое перед экзаменов настроение! Спасибо:D
:) :) :) Дима, удачи!!!
Простите, что так поздно..
В общем, к математике я готовился больше всего (да и из 3-х предметов я её лучше всего знаю), а написал хуже всего:((
Русский – 87
Математика – 74
Физика – 80
Сумма: 241
_______________
Уверен, что без проблем поступлю туда, куда хотел (спб). Так что суммой доволен. Но за математику до сих пор обидно..
Надеюсь, Вам интересна эта информация:)
И огромное Вам спасибо за Ваши красивые записи, всё всегда по полочкам (как я люблю). И большущее спасибо за то, что оперативно отвечаете на вопросы даже к самым старым записям, это очень удобно, а то быввет так, что забываешь в чем был собственно вопрос. В общем, лучше решений заданий Ларина я нигде не нашел. Я был очень рад, когда наткнулся на Ваш сайт. Спасибо! :)
Дима, поздравляю, – достойные баллы! Самое главное, что удается поступить туда, куда хочется! Спасибо, что поделился результатами, – всегда радостно получать обратную связь. Спасибо за теплые слова. В ДОБРЫЙ ПУТЬ!!! :) :) :)
Вечер добрый)
Подумал, что нужно сказать Вам о том, куда поступил. В общем, как я и думал, я поступил туда, куда хотел: СПбПУ на теплоэнергетику и теплотехнику:) В понедельник поеду в Питер на поезде
Еще раз спасибо)
Дим, здорово, что случилось так, как хотелось! А ты сам откуда?
Новый город, новые приключения, новая жизнь! Здорово! Успеха!!!